ベクトル方程式 ２点を通る直線の問題

質問

今ベクトル方程式を勉強しているのですが、まったくもって理解できません。
今やってる問題↓

△OABに対して
OP→=sOA→+tOB→
とおく。実数s,tが
　ｓ≧0, t≧0, s+t=1/2
を満たしながら変化する時、点Pの存在する範囲を求めよ。

答え　点Ｐの存在する範囲は、辺ＯＡ，ＯＢの中点Ｍ、Ｎを両端とする線分ＭＮである。

解答で、いきなりm+nというのが出てきて意味がわかりません。
そもそもsとtって何なのでしょうか。
s+t=1/2　ってどういう状態なんですか？というかs+t=1て何？？？
解答の途中でいきなり　ＯＭ→　と　ＯＮ→　が出てくるのですが、どういうことでしょうか。

解き方の方針？流れ？を教えていただきたいです。

回答お願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

ｓ＋ｔ＝１／２より　ｔ＝１／２－ｓ　なのｄ、これを
ＯＰ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ　（ベクトル記号は省略します）に代入すると
ＯＰ＝ｓＯＡ＋（１／２－ｓ）ＯＢ
　　＝ｓ（ＯＡ－ＯＢ）＋ＯＢ／２
　　＝ｓＢＡ＋ＯＢ／２
となります。この式の意味するところは、点Ｏから点Ｐに行くには（ＯＰというベクトルは）
（１）まず点ＯからＢに向かってＯＢの中点まで進み、（ＯＢ／２　という部分）
（２）続いてＢＡと平行にＢＡの長さのｓ倍だけ進む（ｓＢＡ　という部分）
ということです。

ＯＢの中点（解答では点Ｎ）を通ってＢＡに平行な直線はＯＡの中点（解答では点Ｍ）を通ります。適当な三角形ＯＡＢを書き、ＯＢの中点を通ってＢＡに平行な直線を引くと、三角形ＯＡＢとＯＭＮの相似からＭＮの長さはＢＡの１／２であることが判ります。

上記のｓは０＜＝ｓ＜＝１／２という範囲にあるので、
・ｓ＝０のとき点Ｐは点Ｎと一致する
・ｓ＝１／２のとき点Ｐは点Ｍと一致する
・ｓが上記の間の値をとるとき点Ｐは線分ＮＭ上にある
必ず自分で△ＯＡＢとＯＭＮの図を書いて考えてみてください。

お礼

ありがとうございました！！！！１１！！１！１！
納得しました！

回答No.1

alice_44

二点 C, D を通る直線は、線分 CD を内分、外分する点の集まりです。
内分点、外分点は、u(OC→)+v(OD→), u+v=1 で表されます。
u(OC→)+v(OD→) = (OC→)+v(CD→) だからです。C から CD 方向に進む。
0<v<1 なら内分点、v<0 または v>1 なら外分点になります。

質問の問題では、s+t=1/2 なのだから、(2s)+(2t)=1 と考えれば
上記の式が使えます。このために、式を小細工して、
OP→ = s(OA→)+t(OB→) = (2s)((1/2)OA→)+(2t)((1/2)OB→) です。
m=2s, n=2t, OM→=(1/2)OA→, ON→=(1/2)OB→ と置き換えれば、
OP→ = m(OM→)+n(ON→), m+n=1 となっています。

補足

回答あざます！
"二点 C, D を通る直線は、線分 CD を内分、外分する点の集まりです。"
↑ええと意味はわかるんですけど…ちょっとよくわからないです　つまり何なのでしょうか？
"内分点、外分点は、u(OC→)+v(OD→), u+v=1 で表されます。"
↑　学校でna→+mb→/m+nと習ったのですが、…なんだろう

uとvって何ですか？？