【ベクトル】

質問

OA=√3、OB=1、∠AOB=90°の直角三角形OABの外接円をCとする。
OAベクトル=ａベクトル、OBベクトル=ｂベクトルとし、
円Ｃ上の点PをOPベクトル=ｘaベクトル+ｙbベクトルとあらわすとき、

(1)ｘ、ｙの関係式は？

(2)辺ABを１：２にない文する点をDとし、
直線ODと円Cとの交点のうち、OでないものをP1とする。
OP1ベクトルをａベクトル、ｂベクトルで表すと？

ベクトルが最近得意になってきたら…
いつもと違うような問題形式に戸惑ってます。
解説付きでお願いしたいです！

回答No.1

h_m_kiohsi · ベストアンサー

(1)∠AOB=90°なので、円CはABを直径とする円。
また、円CがABを直径とする円なので、∠APB=90°

AP=OP-OA=(x-1)a+yb (AP,OP,OA,a,bはベクトル)
BP=OP-OB=xa+(y-1)b (BP,OP,OB,a,bはベクトル)

∠AOB=90°より、a・b=0(a,bはベクトル)
∠APB=90°より、AP・BP=0(AP,BPはベクトル)

だから
{(x-1)a+yb}・{xa+(y-1)b}=0
x(x-1)|a|^2+y(y-1)|b|^2=0
3x(x-1)+y(y-1)=0
3x^2-3x+y^2-y=0

(a,bはベクトル)

(2)
DはABを1:2に内分する点なので、
OD=2/3a+1/3b (OD,a,bはベクトル)
P1はOD上なので、OP1=2ka+kb(OP1,a,bはベクトル、kは正の実数)とおける
P1は円C上なので、(1)の関係が成り立つ
よって
3(2k)^2-3*2k+k^2-k=0
k=0,7/13
k>0よりk=7/13
よってOP1=14/13a+7/13b(OP1,a,bはベクトル)

だと思います

回答No.3

ferien

OA=√3、OB=1、∠AOB=90°の直角三角形OABの外接円をCとする。
OAベクトル=ａベクトル、OBベクトル=ｂベクトルとし、
＞円Ｃ上の点PをOPベクトル=ｘaベクトル+ｙbベクトルとあらわすとき、
｜ａ｜＝√３，｜ｂ｜＝１，（ａ，ｂ）＝｜ａ｜｜ｂ｜cos90°＝０……（ア）

＞(1)ｘ、ｙの関係式は？
∠AOB=90°より、ＡＢに対する円周角と見ればＡＢは外接円Ｃの直径。
また、直角三角形ＯＡＢより、ＡＢ＝２であるから、外接円Ｃの半径は１
ＡＢの中点が外接円Ｃの中心だから、それをＭとすると、
ＯＭ＝(1/2)（ＱＡ＋ＯＢ）＝(1/2)（ａ＋ｂ）
ＯＰ＝ｘａ＋ｙｂとすると、Ｐは円周上の点だから、
ＭＰの長さは半径と一致する。よって、｜ＭＰ｜＝１より、
｜ＯＰ－ＯＭ｜^2＝１
ＯＰ－ＯＭ＝（ｘａ＋ｙｂ）－(1/2)（ａ＋ｂ）
＝（ｘ－1/2）ａ＋（ｙ－1/2）ｂ
｜（ｘ－1/2）ａ＋（ｙ－1/2）ｂ｜^2
＝（ｘ－1/2）^2｜ａ｜^2＋２（ｘ－1/2）（ｙ－1/2）（ａ，ｂ）＋（ｙ－1/2）^2｜ｂ｜^2
＝３（ｘ－1/2）^2＋（ｙ－1/2）^2　……（ア）より、
＝１
これを展開して整理すると、３ｘ（ｘ－１）＋ｙ（ｙ－１）＝０

＞(2)辺ABを１：２にない文する点をDとし、
直線ODと円Cとの交点のうち、OでないものをP1とする。
＞OP1ベクトルをａベクトル、ｂベクトルで表すと？
ＯＤ＝(2/3)ＯＡ＋(1/3)ＯＢ＝(2/3)ａ＋(1/3)ｂ
Ｏ，Ｄ，Ｐ1は一直線上にあるから、
ＯＰ1＝ｋＯＤとおける　よって、
ＯＰ1＝(2/3)ｋａ＋(1/3)ｋｂ　……（イ）
Ｐ1は円Ｃ上の点だから、ＯＰ1＝ｘａ＋ｙｂ……（ウ）と表せる
（イ）（ウ）を係数比較すると、
ｘ＝(2/3)ｋ，ｙ＝(1/3)ｋ……（エ）　これを（１）の結果の式に代入すると、
３×(2/3)ｋ×｛(2/3)ｋ－１｝＋(1/3)ｋ×｛(1/3)ｋ－１｝＝０
(13/9)ｋ^2－(7/3)ｋ＝０，ｋ（１３ｋ－２１）＝０
ｋ＝０でないから、ｋ＝21/13　（エ）に代入すると、
ｘ＝14/13，ｙ＝7/13
よって、ＯＰ1=(14/13)ａ＋(7/13)ｂ

でどうでしょうか？

回答No.2

yyssaa

(1)＞
aベクトルをa↑、aベクトルの大きさを|a↑|と書きます。
直角三角形OABの斜辺ABは外接円Cの直径であり、その長さは2。
円C上の点Pと点A、Bで出来る△ABPも斜辺をABとする直角三角形。
BP↑=OP↑-b↑=xa↑+yb↑-b↑=xa↑+(y-1)b↑
AP↑=OP↑-a↑=xa↑+yb↑-a↑=(x-1)a↑+yb↑
|BP↑|^2=|xa↑|^2+|(y-1)b↑|^2=3x^2+(y-1)^2
|AP↑|^2=|(x-1)a↑|^2+|yb↑|^2=3(x-1)^2+y^2
△ABPに三平方の定理を適用して
2^2=3x^2+(y-1)^2+3(x-1)^2+y^2=6x^2-6x+2y^2-2y+4
整理して3(x^2-x)+y^2-y=0
(2)＞
BA↑=a↑-b↑、BD↑=(2/3)BA↑
OD↑=b↑+BD↑=b↑+(2/3)(a↑-b↑)=(2/3)a↑+(1/3)b↑
|OD↑|^2=|(2/3)a↑|^2+|(1/3)b↑|^2=(4/3)+(1/9)=13/9
|OD↑|=(√13)/3
△ADP1∝△OBDよってAD/OD=DP1/BD　→　DP1=AD*BD/OD
AD=2/3、BD=4/3よりDP1={(2/3)(4/3)}/{(√13)/3}=8/(3√13)
DP1↑=(DP1/|OD↑|)OD↑=[{8/(3√13)}/{(√13)/3}]OD↑=(8/13)OD↑
以上より、OP1↑=OD↑+DP1↑=(21/13)OD↑=(21/13){(2/3)a↑+(1/3)b↑}
=(14/13)a↑+(7/13)b↑・・・答え