ベクトル 面積

質問

面積1の△OABがある
実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすときOP↑=sOA↑+tOB↑で表される点Pが動く範囲全体の面積はいくつか
また「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすとき」という部分が「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2と2s+t≦2を満たすとき」となったときの点Pが動く範囲全体の面積はいくつか

はじめから解き方がわからないので教えてください

回答No.26

ferien

ANo.25です。

＞教科書は、
＞例えば1から2の3x^2-2x+4の定積分だったら[x^3]-[x^2]+4[x](いずれも範囲は1から2)
＞と項毎に積分してましたけど私のやり方と違うでしょうか？
そのような計算の仕方は初めて見ました。補足の中で説明されてやっと理解できました。
計算ミスを減らすための方法なんでしょうか？特殊な解き方のような気がしました。
教科書だけでなく、もっと他の参考書なども見て、解き方を調べてみたらいいと思います。

お礼

わかりました
大量の質量への解答ありがとうございました

回答No.25

ferien

A24です。

＞普通はどうやるんですか？
＞私は項毎に積分してから範囲の端と端を代入したものの差を出して係数とかけると習ったのですが
ANo.14にあります。普通に教科書などにも載っているやり方だと思います。

詳しいことは教科書を見て下さい。

補足

教科書は、
例えば1から2の3x^2-2x+4の定積分だったら[x^3]-[x^2]+4[x](いずれも範囲は1から2)
と項毎に積分してましたけど私のやり方と違うでしょうか？

回答No.24

ferien

ANo.23です。　答えまでたどり着けて良かったです。

＞面積＝∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘ
＝-1/4[ｘ^2]+[ｘ]-[ｘ^2]+2[ｘ]
＝-1/9 + 2/3 -5/9 + 2/3
＝-6/9 + 4/3＝2/3
＞で面積比が1:2だから4/3だという結果になりました
は、計算結果は合ってるんですが、
計算途中の書き方も含めて、普通はこのようにはしません。
どのように考えて計算しているのか、見えないので、計算が分かっていないと、
誤解される元になると思います。
自分勝手なやり方ではなく、教科書などで正しい計算手順を身につけた方がいいと思います。
（難しい問題に出会ったとき、応用できなくなります。）

補足

普通はどうやるんですか？
私は項毎に積分してから範囲の端と端を代入したものの差を出して係数とかけると習ったのですが

回答No.23

ferien

ANo.22です。

＞積分は何か問題でしたでしょうか？私としては計算については無理をしたつもりも問題もなく、
＞むしろ普通に面積を出す方が苦痛だったのですが(後述)
今までの補足で書かれた内容をみて判断しただけです。
できれば、途中計算と積分結果を提示してみてください。（理解されたことが分かりますので。）

＞台形の面積は(（上底＋下底）×高さ）÷2ですよね 上底を出すのは難しくないですか？
２つの直線の交点を出せばいいだけです。連立方程式です。
積分範囲を求めるときも、全く同じ計算をしているはずですが。。

ANo.21で書いた内容については理解されたのでしょうか？
答えまでたどり着けたでしょうか？

補足

大かっこの後ろの範囲は、2つ目の[ｘ]までが0～2/3、その後ろからが2/3～1です
面積＝∫［０～2/3］｛(-1/2)ｘ＋１｝ｄｘ＋∫［2/3～１］（－２ｘ＋２）ｄｘ
＝-1/4[ｘ^2]+[ｘ]-[ｘ^2]+2[ｘ]
＝-1/9 + 2/3 -5/9 + 2/3
＝-6/9 + 4/3＝2/3
で面積比が1:2だから4/3だという結果になりました

台形についてはその通りでした

回答No.22

ferien

ANo.21です。

グラフが正しく描けていれば、回答を見て理解できるはずです。
グラフを描く部分で自信がないのだったら、描き方についても復習する必要があります。
まずは、図が正しく描けるように練習して下さい。、
（対面して説明しているわけではないので、図が正しいことは重要です。）

求める面積の範囲は、（０，０），（１，０），（2/3，2/3）…２つの直線の交点
、（０，１）の４つの点を結んだ四角形の辺上と内部です。

改めて図を描いて、積分の式やＡNo.4の図形の計算式がグラフとどのように対応しているか
考えてみて下さい。
積分については、計算の手順も理解できていない様子なので無理せずに、
まずは面積の公式を使って求めてみて下さい。（中学校の内容なので、既習内容だと思います。）
とりあえず、自分に分かる方法で、答えにたどり着いて下さい。

面積の求め方が理解できたら、積分を使って改めて考えてみれば、理解しやすくなると思います。

補足

直線の下側でx、yが0以上の部分と考えたら納得がいきました ありがとうございました

積分は何か問題でしたでしょうか？私としては計算については無理をしたつもりも問題もなく、むしろ普通に面積を出す方が苦痛だったのですが(後述)

台形の面積は(（上底＋下底）×高さ）÷2ですよね 上底を出すのは難しくないですか？

回答No.21

ferien

ANo.19です。

＞すみません、まだ疑問がありました。求める面積と関係ない部分なのはなぜですか？
ANo.4の回答を読まれて、理解したのなら、求める面積と関係ない部分だと分かるはずですが。。
面積の範囲は、分かっていますか？
なぜ必要だと思うのですか？

補足

No.4には
＞ｓ＋２ｔ＝２と２ｓ＋ｔ＝２の交点の座標は、連立で解くと（s,t）＝(2/3，2/3）
グラフを描くと、ｘ＝2/3のところで、台形と直角三角形に分かれる。
このとき、面積＝(1/2)・（１+2/3）・(2/3)＋(1/2)・(2/3)・(1/3)＝(5/9)＋(1/9)＝2/3
△ＯＡＢ＝１のときの面積をＳ2・・・

という面積の計算しか書いていないのでわからないです
面積の範囲はx、y軸と(-1/2)ｘ＋１と－２ｘ＋２で囲まれた部分ですよね？

回答No.20

中村 拓男（@tknakamuri）

>公式とは(1/2)｜a↑｜｜b↑｜sinθのことですか？

違います。示したように、ベクトルのみで面積を導く
公式です。もちろん、a・b = |a||b|cosθ ですから
(1/2)√(|a|^2|b|^2 - (a・b)^2) = (1/2)|a||b||sinθ|　です。
でもθを使わないところに価値があります。

せっかくベクトルで面積を扱うのですから、ベクトルと面積の
関係を頭にいれておいたほうがよいですよ。

お礼

初めて見たと思います
ありがとうございました

回答No.19

ferien

Ano.18です。

＞(-1/2)ｘ＋１と－２ｘ＋２てy軸で挟まれた三角形の面積は出さなくてよいのですか？
出さなくていいです。求める面積と関係ない部分です。
残りは、－２ｘ＋２とｘ軸に挟まれた部分です。
ANo.4で言えば、直角三角形の部分、積分式の後半部分です。

お礼

わかりました
たくさんの質問をしてすみませんでした
本当にありがとうございました

補足

すみません、まだ疑問がありました
求める面積と関係ない部分なのはなぜですか？

回答No.18

ferien

ANo.16です。

＞本当は0から2/3の範囲ではx軸とy軸と(-1/2)ｘ＋１で囲まれた面積を出すということですか？
そうです。ANo.4で言えば、台形の部分の面積を求めていることになります。

補足

(-1/2)ｘ＋１と－２ｘ＋２てy軸で挟まれた三角形の面積は出さなくてよいのですか？

回答No.17

中村 拓男（@tknakamuri）

No. 2 です。
>外積を使わない解き方を教えてください

数IIB でどこまで教えているか知りませんが、ベクトルの３角形の面積公式を習っているなら

a, bがなす三角形の面積 = (1/2)|a x b| = (1/2)√(|a|^2|b|^2 - (a・b)^2)

と置き換えれば、外戚を使わず、内積で面積を表せます。

これで No.2 を書き換えるのはとても簡単です。試してみてください

補足

三角形の面積の公式とは(1/2)｜a↑｜｜b↑｜sinθのことですか？