xベOA+yベOB+zべOC=零ベ と 三角形

質問

以下において　x y zは正の実数とします
ベクトルOAは矢印を省略しOAと表します

命題
三角形ABCが存在できる∧その内部に点Oが存在する∧△OBC:△OCA:△OAB=x:y:z
⇔
xOA+yOB+zOC=0

を証明したいのですがうまくいきませんでした
証明例を教えてください

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

「AOとODの長さの比」は 2つの三角形 △ABC と △OBC の面積比がわかればわかる.

2 は実質的に 1 を逆に働かせればできる.

お礼

回答ありがとうございます。
アドバイスを元に考え、証明することができました！

回答No.4

178-tall

< ANo.2
まずは、錯誤訂正したつもりの再掲です。

△ABC 内の点 O を原点 [0, 0] とした直交座標を想定。
A[x1, y1], B[x2, y2], C[x3, y3] とでもする。
以下、A, B, C と略記する。

さしあたり、予備命題をいくつか。

・△OAB などの面積 Sab は？
　　2Sab = x1y2 - x2y1　など。

・rA + sB + tC = 0 の非自明係数 {r, s, t} は？
　たとえば t=1 として、
　　rA + sB = -C
　つまり、
　　x1*r + x2*s = -x3
　　y1*r + y2*s = -y3
　D = x1y2-y1x2≠0 ならば、
　　r = (x2y3-y2x3)/(x1y2-y1x2)
　　s = (x3y1-y3x1)/(x1y2-y1x2)

　　↓
これの「素ベクトル版」は手強いようですネ。
　　↓

たとえば、
・△OAB の面積 Sab は？
　　2Sab = √{ (|A||B|)^2 - (A・B)^2}
　これは、2 次元のままなら A-B 同士の射影関係 (内積) を使って得られる。
　3 次元の z-平面にあるとして「外積」勘定する手もあるが、それで推論が楽になるか否かは未詳。

・rA + sB + tC = 0 の非自明係数 {r, s, t} は？
　たとえば t=1 として、
　　rA + sB = -C
　このあと「直交座標」に頼らず「素ベクトル」で推論するには、{A, B ,C} との「内積」でも想定して {r, s} を推算するのだろう。

　タイム・アップでなかなか手をさけず、先が読めませんけど…ご一報だけ。

回答No.2

178-tall

△ABC 内の点 O を原点 [0, 0] とした直交座標を想定。
A[x1, y1], B[x2, y2], C[x3, y3] とでもする。
以下、A, B, C と略記することあり。

さしあたり、予備命題をいくつか (吟味してみて) 。

・△OAB などの面積 Sab は？
　　2Sab = x1y2 - x2y1　など。

・rA + sB + tC = 0 の非自明係数 {r, s, t} は？
　たとえば t=1 として、
　　rA + sB = C
　つまり、
　　x1*r + x2*s = -x3
　　y1*r + y2*s = -y3
　D = x1y2-y1x2≠0 ならば、
　　r = (x2y3-y2x3)/(x1y2-y1x2)
　　s = (x3y1-y3x1)/(x1y2-y1x2)

このくらいの準備あれば、道筋見えてきませんか？

回答No.1

Tacosan

何を考えどう進めてどこで困っている?

補足

1.三角形ABCが存在できる∧その内部に点Oが存在する∧△OBC:△OCA:△OAB=x:y:z
→
xOA+yOB+zOC=0

は、ベクトルOA,OB,OCをベクトルABとベクトルACで表し、和が零ベクトルになるということを示す
という方針で考えました

AOの延長とBCの交点をDとすし
△OAC:△OAB=y:zから△ADC:△DABの比をもとめ
そこからBD:DCの比を求めました
後はAOとODの長さの比を求めればベクトルOAがベクトルABとベクトルACで表せるのですが
ここでAOとODの長さの比が求められずつまってしまいました。
（ベクトルOB,OCに関しても同じ手順）

2.三角形ABCが存在できる∧その内部に点Oが存在する∧△OBC:△OCA:△OAB=x:y:z
←
xOA+yOB+zOC=0

ベクトルをAを始点とした形で表し、それによって点Oの存在位置を示し
そこから面積比を求めようという方針で考え、式をいろいろ変形してみましたが
方針をうまく実行できませんでした