【ベクトルと平面図形】

質問

点Oを原点とする座標平面上に2点A(1,1)、B(1、-1)がある。

（１）実数ｓ、ｔによって、OPベクトル＝ｓOAべくとる＋ｔOBベクトルで定められる点Pを考える。
ｓ、ｔがｓ＋ｓｔ≦２、ｓ≧0．ｔ≧0を満たしながら動くとき、
点Pの存在する範囲を求めよ。

（２）実数uによって、OQベクトル=(1-u)QAベクトル+2uQBベクトルで定められる点Qを考える。
uが0≦u≦１を満たしながら動くとき、
点Qno存在する範囲を求めよ。

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

回答No.2

無 鉄砲（@without-a-gun）

(1) OPベクトル＝sOAベクトル+tOBベクトルから
　　点Pのx座標Px=s+t、点Pのy座標Py=s-tとなる。
　　ここで、Px+PyとPx-Pyを作ってみると、
　　s=(Px+Py)/2、t=(Px-Py)/2となる。
　　これを、条件s+st=<2に代入して整理すると
　　(Px+1)^2-(Py-1)^2=<8、ただし、Px>=0
　　点Pの存在範囲は、直角双曲線x^2+y^2=8を
　　x方向に-1、y方向に1だけ平行移動したものの
　　右側の曲線の（曲線を含む）右側の領域である。

(2) OQベクトル=(1-u)QAベクトル+2uQBベクトルからOQベクトルについて整理すると、
　　OQベクトル=(1-u)(OAベクトル-OQベクトル)+2u(OBベクトル-OQベクトル)
　　(2+u)OQベクトル=(1-u)OAベクトル+2uOBベクトル
　　OQベクトル=(1-u)/(2+u)OAベクトル+2u/(2+u)OBベクトルとなる。

　　これから点Qのx座標Qx=(1+u)/(2+u)、点Qのy座標Qy=(1-3u)/(2+u)となる。

　　ここで、7Qx+Qyと3Qx+Qyを作ってみると、それぞれ、
　　7Qx+Qy=4となり、u=4/(3Qx+Qy)-2となる。

　　さらに、条件0=<u=<1から0=<4/(3Qx+Qy)-2=<1
　　これを整理して4/3=<3Qx+Qy=<2
　　これは、直線y=2-3xと直線y=4/3-3xに挟まれた領域であり、
　　この領域が切り取る直線y=4-7xの部分が点Qの存在範囲である。
　　すなわち、点Qの存在範囲は、直線y=4-7xのうち1/2=<x=<2/3の部分である。

　　7Qx+Qyを作ると分母（u+2）を消せると気付くまでに時間がかかりました。。。ちょっとトリッキー！

回答No.1

muturajcp

(1)
OP=sOA+tOB
s+st≦2
s≧0
t≧0
(x,y)=s(1,1)+t(1,-1)=(s+t,s-t)
x=s+t
y=s-t
x+y=2s≧0
x-y=2t≧0
s=(x+y)/2
t=(x-y)/2
s+st=s(1+t)=(x+y){1+(x-y)/2}/2≦2
2x+xx+2y-yy≦8
{(x+1)^2}/8-{(y-1)^2}/8≦1
x=-1
y=1
を軸に持ち
(-1+2√2,1)
(-1-2√2,1)
を通る双曲線
{(x+1)^2}/8-{(y-1)^2}/8=1
の内側で
-x≦y≦x
の範囲
y≦2
{(x,y)||y|≦x≦-1+√{(y-1)^2+8)}}

(2)
OQ=(1-u)QA+2uQB
(2+u)Q=(1-u)A+2uB
Q={(1-u)A+2uB}/(2+u)
(2+u)(x,y)={(1-u)(1,1)+2u(1,-1)}
(2+u)(x,y)=(1+u,1-3u)
(2+u)x=1+u
(2+u)y=1-3u
2x-1=u(1-x)
u(y+3)=1-2y
(2x-1)(y+3)=(1-x)(1-2y)
7x+y=4
(2x-1)/(1-x)=u≧0
(2x-1)(1-x)≧0
(x-1)(2x-1)≦0
1/2≦x<1
線分(1/2,1/2)(1,-3)上
{(x,y)|7x+y=4,1/2≦x<1}