ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

質問

※a→は「aベクトル」という意味です。
(1)△OABがあります。点Pが次のベクトル方程式を満たすとき、点Pの描く図形を求めてください。ただし、OA→＝a→、OB→＝b→、OP→＝p→とします。（途中式もお願いします。）
（１）｜2p→－a→－b→｜＝4
（２）（p→－a→）・（p→－b→）＝0

(2)空間内に４点A（0、1、2）、B（1、0、－1）、C（－1、1、4）、D（x、y、z）があります。
４点A、B、C、Dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
(1)（１）線分ABの中点を中心とする半径２の円
（２）線分ABを直径とする円
(2)2x－y+z－1=0
です。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

※a→は「aベクトル」という意味です。
(1)△OABがあります。点Pが次のベクトル方程式を満たすとき、点Pの描く図形を求めてください。ただし、
＞OA→＝a→、OB→＝b→、OP→＝p→とします。
＞（１）｜2p→－a→－b→｜＝4
２｜ｐ－(1/2)（ａ＋ｂ）｜＝４より、
｜ｐ－(1/2)（ａ＋ｂ）｜＝２だから、ベクトル(1/2)（ａ＋ｂ）の表す点が中心
よって、中心がＡＢの中点で、半径２の円

＞（２）（p→－a→）・（p→－b→）＝0
（ｐ－ａ）・（ｐ－ｂ）
＝｜Ｐ｜^2－（ｐ・ａ＋ｐ・ｂ）＋ａ・ｂ
＝｜ｐ｜^2－（ｐ・（ａ＋ｂ））＋ａ・ｂ
＝｛｜ｐ｜^2－（ｐ・（ａ＋ｂ））＋(1/4)｜ａ＋ｂ｜^2｝－(1/4)｜ａ＋ｂ｜^2＋ａ・ｂ＝０
｜ｐ－(1/2)（ａ＋ｂ）｜^2＝(1/4)｜ａ＋ｂ｜^2－ａ・ｂ
右辺＝(1/4)｛｜ａ｜^2＋２（ａ・ｂ）＋｜ｂ｜^2－４（ａ・ｂ）｝
＝(1/4)｛｜ａ｜^2－２（ａ・ｂ）＋｜ｂ｜^2｝
＝(1/4)｜ａ－ｂ｜^2
＝｜(1/2)（ａ－ｂ）｜^2
よって、｜ｐ－(1/2)（ａ＋ｂ）｜＝｜(1/2)（ａ－ｂ）｜だから、
中心がＡＢの中点（直径がＡＢ）で、半径が｜(1/2)（ａ－ｂ）｜の円

＞(2)空間内に４点A（0、1、2）、B（1、0、－1）、C（－1、1、4）、D（x、y、z）があります。
＞４点A、B、C、Dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。
４点がある平面をａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とおく。
Ａを通るから、ｂ＋２ｃ＋ｄ＝０より、ｂ＝－２ｃ－ｄ
Ｂを通るから、ａ－ｃ＋ｄ＝０より、ａ＝ｃ－ｄ
Ｃを通るから、－ａ＋ｂ＋４ｃ＋ｄ＝０　に上のｂ，ａを代入して整理すると、
ｃ＝－ｄ，これから、ａ＝－２ｄ，ｂ＝ｄ
よって、ａ：ｂ：ｃ：ｄ＝－２：１：－１：１から、
法線ベクトルは、（－２，１，－１）　
このような平面は、－２ｘ＋ｙ－ｚ＋１＝０より、
Ｄもこの平面上の点だから、ｘ、ｙ、ｚの関係式は、
２ｘ－ｙ＋ｚ－１＝０