共通因数の括り出し方

質問

［類　近畿大］
【問題】
x についての多項式PをP=x^4-6x^3+7x^2+6x－8とする。
（1）t=x^2－3xとおいて、Pをtで表せ。

自分はまず、
P=x^2(x^2－3x)+7x^2+6x－8
と共通因数を括り出し
=tx^2+7x^2+6x－8
として考えようとしたのですが、ここで行き詰ってしまいました・・・
解答例では下の図のようになっているのですが、
Pをx^2－3xで割る発想というのが理解しづらく、
商がx^2－3x－2となり、たまたま（？）x^2－3xが出てきたから良いものの
もし商がtと全く関係ないようなら割るだけ時間の無駄というか・・・^^;
なんかうまく説明できませんがとにかく割るやり方は発想し難いです・・
というのもあり、自分のやり方の
=tx^2+7x^2+6x－8
ここからなんとかtを作り出すことは可能でしょうか？

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

いや、普通に、
t の定義式を x の二次式方程式として解いて、
P(x) へ代入することを考えてみよう。
そうすれば、確実に P(x) は x を含まない
t だけの式になるが、多項式になるとは限らない。
二次方程式の解公式で生じた √ が
最後まで式に残る可能性がある。
√ が残るか残らないかは、式変形の巧拙に
よるのではなく、P がどんな式かによって
初めから決まっている。
だから、怖れずにドンドン変形すればいい野田。
二次方程式の解を多項式へ代入する計算と
多項式を方程式の左辺で割る計算が同じ
だということは、数I の大山だから、
不慣れなら、よく復習しておくほうがいい。
このやり方を使うなら、xx-3x ではなく、
xx-3x-t で、P(x) を割ることになる。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞数I の大山だから、不慣れなら、よく復習しておくほうがいい。
たしかにそうですね。。
たまたま^^;家に数学IIBの参考書があったので思い出しならがやってみたのですが、
alice_44さんの説明を受けて数学Iをやり直してみたくなりました(普通逆ですよね・・^^;)

＞xx-3x-t で、P(x)を割る
これをやってみたのですが、
商　x＾2-3x+(t-2)
余り　t＾2-2t-8
になりました。つまり
P(x)=(x＾2-3x-t){x＾2-3x+(t-2)}+t＾2-2t-8
になると思うのですが、x＾2-3xはtなので
P(x)=t＾2-2t-8
になるという認識であっているのでしょうか？
もしそうだとすれば、つまりこの結果は何を意味しているのでしょうか？
正直、今行なったことは自分的にはあまり理解できていないので
解説を頂けないでしょうか？

回答No.12

alice_44

そうですね。
x=… の右辺が三乗根を含めば、根号を消すのに
三次式を作らねばならないし、
四乗根や二重平方根を含めば、四次式にせざるを得ません。
でも、平方根だけなら、二次式で割るのがよいです。
割る式の次数が低いほど、余りが簡単な式になりますから。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、それぞれ次元の平方根に対応した変形をした方がいいわけですね。
参考になりました。

回答No.11

alice_44

そうですね。
x=1+√3 から整係数方程式を作る処理は、
平方完成の逆ですから、
(x-1)の2乗=(-√3)の2乗 から
整頓すればよいです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、たしかにそんな感じでしたね。
参考になりました。

つまり、なぜ
xxxx+2xxx+3xx+4x+5
を
x-1-√3ではなくてxx-2x-2（2次方程式）で割るかというと
そちらの方が割る作業が簡単だからということですよね？
なのでもしx=1+√3から4次方程式を作り出せるのなら
それで割った方がさらに簡単だということですよね？（もちろん4次方程式を作るのが手間がかかるかもしれませんが・・・）
その場合の4次方程式の解の１つは当然x=1+√3になると思うのですが、
そのような認識であっているのでしょうか？

補足

あ、そうか、、
すいません、簡単ではないですね・・・
あまりが３次以下になりますもんね・・・

回答No.10

alice_44

←A No.7 補足
意味も何も、貴方のやった計算が全てです。
xx-3x-t=0 の条件下では、P(x)=tt-2t-8 が成り立つのです。終わり。

今回は、割った余りに x が残りませんでしたが、
余りは x の一次式になる場合もあります。
その際、残った x へ二次方程式の解
x=(3±√(9+t))/2 を代入する計算は、
P(x) へ直接代入するよりも、かなり楽だと思います。
今回は、たまたま、代入する手間がゼロの場合でした。

←A No.8 補足
上記を踏まえて、x-1-√3 ではなく
xx-2x-2 で割れば、√ なしの計算で済みます。
どちらの計算が楽かは、好みの差もありますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ああ、なるほど、仮にxが残ったとしても
tを含んだ解を入れてやればいいわけですか。
たしかに方程式ってそういうことですよね（当たり前ですが^^;）

x-1-√3 から（？）xx-2x-2の式を求めるやり方をど忘れ^^;してしまったのですが、
たしかにそれで割れば

(x＾2-2x-2)(x＾2+4x+13)+38x+31

になってそこに1+√3をいれてやれば(x＾2-2x-2)は当然0になるので簡単に求まりますね。
明らかにこっちの方が簡単です。
「方程式の左辺で割る」をこの場合x-x-1-√3=0の左辺だと勘違い（？）してました・・・
こっち（x＾2-2x-2=0）でいいわけですよね

回答No.9

chie65536（@chie65535）

＞ただそのやり方で例えば、
＞4752÷70=67.885...
＞4752-70×67=62
＞だから
＞4752=70×67+62
＞したがって
＞P=67t+62
＞になるのですが、これでも良いのでしょうか？

駄目です。

x=10と置いたので（10を底としたので）式中に10以上の定数を作ってはいけません。

x=10なので「+62」の部分は「6x+2」に変形できてしまうので、うまく行きません。

ｘは、元のPの式中にある定数の絶対値の最大の物より大きくし（今回の場合は8より大きい数）、tを使ってPを表した式中の定数の絶対値はｘよりも小さくしなければなりません（tを使ってPを表した式中の定数の絶対値は10以上にしてはいけない）

xを10とした場合、使える定数は-9～9の範囲だけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、たしかにx=10としてましたね・・・
なんかどうしても自分の最初の思考として
単純に4752を70で割ってどんどん小さいまとまりにしていくのが考えやすくて
chie65535さんのやり方のように、
＞70*70=4900だから、4752は4900より148小さい。
という2乗する発想が浮かびにくいのです・・・
言われてみればそうだなというのは分かるのですが、
自分のレベル^^;にしてみればちょっとしたテクニックを使ってるように思えるのです（これぐらい当たり前にできなくちゃいけないことなんでしょうけど・・・）
たしかに
67×70+62
で67×70にあと70×3を足してやれば
70×70
で２乗ができあがるのですが、それをやる（２乗を作り出す）ことによって
4752を10より小さい数に表そうと向かっている確証が持てなくて
２乗を作り出したら残りの62と-70×3が合わさって
たまたま
-148=-(70×2)-8という10より小さなまとまりになってくれた
と自分は思ってしまうのです・・・
ですので
67×70+62
この時点で次に何をやっていけばいいのかが分からず思考が停止するというか・・^^;（２乗を作ってもほんとに数が小さくなってくれるのだろうか？）
ここから進む道が複数あるようなイメージで、どうすれば良いのだろう？という。。

回答No.8

alice_44

復習のためには、
以下のような問題を解いてみるといい。
問) x=1+√3 のとき、xxxx+2xxx+3xx+4x+5 の
値を計算せよ。
参考書で、類題を探してみよう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
No.7で解説頂いたやり方（x-1-√3で割る）でやってみたのですが、
余りは　69+38√3 になりました。
これが答えで合っているのでしょうか？
それともなにかもっと楽なやり方があるのでしょうか？

回答No.6

mister_moonlight

この程度は、あっさり計算が出来なくては困るんだが。。。。ｗ

＞(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8＝展開すると＝-2x＾2+6x+t-8

(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8＝(t＾2+9x＾2+6tx)-(6xt+18x＾2)＋(7x^2+6x－8)＝-2x＾2+t＾2+6x-8＝(t＾2-8)-2(x＾2-3x)

お礼

ご回答ありがとうございます。
すいません、確認なのですが
＞＝展開すると
というのは
(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8
を展開するということですよね？
そして展開したあとの式は、No.5だと
-2x＾2+6x+t-8
になるわけですよね？
どこでt＾2は消えたのでしょうか？

(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8
↓展開
-2x＾2+6x+t-8

順番としてはこれであってますか？

回答No.5

mister_moonlight

＞なんかうまく説明できませんがとにかく割るやり方は発想し難いです・・

割ると言う発想が難しいなら(同じ事なんだが)、次数を下げてやる、事をすると良い。

P=x^4-6x^3+7x^2+6x－8＝(x^2)＾2-6x(x^2)＋7x^2+6x－8＝(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8＝展開すると＝-2x＾2+6x+t-8＝-2(x＾2-3x)＋t＾2-8＝以下、省略。

そんな事をしなくても、因数分解する気でやれば
P=x^4-6x^3+7x^2+6x－8＝(x＾2-3x)＾2-2(x＾2-3x＋4)で終わり。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8＝展開すると＝-2x＾2+6x+t-8
この部分が分からないのですが、
(t+3x)＾2-6x(t+3x)＋7x^2+6x－8
を展開するとt＾2が出てくると思うのですが、それはどうなったのでしょうか？

回答No.4

chie65536（@chie65535）

仮に、ｘを１０とすると、単なる「算数」になっちゃう。

P=x^4-6x^3+7x^2+6x－8

P=10000-6000+700+60-8=4752

t=x^2－3x

t=100-30=70

4752を70を使って表せ、になっちゃう。

70*70=4900だから、4752は4900より148小さい。だから70*70-148=4752。

70*2=140だから、70*70-70*2-8=4752。

70をtに置き換えれば、t*t-2t-8=t^2-2t-8。

ほら、答えの「t^2-2t-8」が出てきた。

因数分解なんか要らないし、xを含んだ式のまま割り算なんてのも要らない。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、凄い分かり易いです^^
たしかに理解しやすい数字に置き換えると分かり易いですね。
ただそのやり方で例えば、

4752÷70=67.885...
4752-70×67=62
だから
4752=70×67+62
したがって
P=67t+62

になるのですが、これでも良いのでしょうか？
というのもこの問題の(2)は

(2) (1)を利用して、Pを因数分解せよ。

という問題なので、P=67t+62という表し方だとまずい気が・・・
というよりchie65535さんの仰っていることに対して自分はどこを勘違いしているのでしょうか？

回答No.3

WiredLogic

＞P=x^2(x^2－3x)+7x^2+6x－8
＞と共通因数を括り出し
＞=tx^2+7x^2+6x－8
＞として考えようとしたのですが、ここで行き詰ってしまいました・・・

最初で計算が間違っていて、続きをやれば、

P = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 8
= x^2(x^2-3x) - 3x^3 + 7x^2 + 6x - 8
= tx^2 - 3x(x^2-3x) - 2x^2 + 6x - 8
= tx^2 - 3tx - 2(x^2 - 3x) - 8
= t(x^2 - 3x) - 2t - 8 = t^2 - 2t - 8

または、

t = x^2 - 3x ⇔ x^2 = t + 3x から、
x^4 = t^2 + 6tx + x^2 = t^2 + 6tx + (t+3x) = (6t+3)x + t^2 + t、
x^3 = x*x^2 = x(t + 3x) = tx + 3x^2 = tx + 3(t+3x) = (t+9)x + 3t なので、
P = {(6t+3)x + t^2 + t} - 6{(t+9)x + 3t} + 7(t+3x) + 6x - 8
= …

のようにして計算していくこともできますが、
(どっちにしても、要するに、何とかして、tで表すことで、xの次数を下げていく)

面倒だし、行き当たりばったりっぽい、という気がしませんか？
模範解答の割り算を使うやり方の方が、簡単ですよね？

「割る」という発想が難しいのは、
なぜここで「割り算」なのかが
解りにくいからだと思いますが、

最初から割ることを考える訳じゃなく、
Pは４次式だから、
P = (x^2-3x)(xの２次式) + xの１次式
という形にできると、もっと簡単になるんだけどなぁ、
と考えると、あ、割ればいいんだ、
というのは、自然に出てきそうに
思えませんか？

解法は、覚えるものでなく、できれば、自分で作るもの、
覚えるときでも、形を覚えるのではなく、
なぜ、そうするのか、そうすると具合がいいのか、
という、解法の心を見つけて、それを理解し、
身に付けることが大事です。
(でないと、結局覚えきれなかったり、現場で
使えなかったり、応用がきかなかったりする)

その心は、どこが難しいんだろう、どこが
違っていれば、簡単になるんだろう、という
ようなことを考えると、見つかりやすく、
特に、こうなってれば簡単なのになぁ、
そうできないかなぁ、という、虫のいいこと^^
を考えることが、決め手になるものもあります。

すべて自分の思ったようにいくと考えるのは、
間違っているとしても、何らかの方向で、
自分の都合のいい方向にひっぱっていかないと
答なんか出せるはずはない、ということには
間違いはありません。

模範解答などは、暗記するというより、その方向へ
向かうための道しるべとして、上手に使いましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞(どっちにしても、要するに、何とかして、tで表すことで、xの次数を下げていく)
たしかにそうですよね。。。
なんか自分が勘違いというかなんなのかは分かりませんが、
問題文は
「Pをtで表せ」
なんですけど、本当に都合良く^^;　tだけ（xを残さず）で表せるのか疑念が心のどこかにあって、
だからx^2－3xで割ることを完全に良しとすることができなかったのです・・・
まあもしtだけで表せないなら、そもそもそんな問題を出さないですもんね^^;

＞(でないと、結局覚えきれなかったり、現場で使えなかったり、応用がきかなかったりする)
身にしみてます・・・
たしかに特に数学は本質を理解してないと、ちょっと捻った問題が出ただけで駄目ですもんね。。

回答No.2

KEIS050162

結果的に、割り算をしているのと同じになると思います。（計算間違いしてますよ。）
というか、その方法こそ、まさにＰを　ｔ　で割る作業ということではないでしょうか。

Ｐ　＝　ｘ＾２・ｔ　－３ｘ＾３　＋７ｘ＾２＋６ｘ－８　　　←　－３ｘ＾３　が抜けてます。

Ｐ　＝　ｘ＾２・ｔ　－３ｘ・ｔ　－　２ｘ＾　＋　６ｘ　－８

以下は、解答例と同じになります。

ご参考に。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘ありがとうございます。
たしかに
－3x^3
が残ってないとおかしいですね・・・