数学の因数定理について

質問

数学の因数定理について

整式P（x）がx＝aで0になる条件はP（x）がx－aを因数に持つこと（因数定理）を証明せよ。

と言う問題があります。
解答と異なっているので確認お願い致します。

P（x）がx－aで割り切れるとする。P（x）をx－aで割った商をQ（x）とすると、
P（x）＝（x－a）Q（x）
が成立する。
よってx＝aをこの式へ代入すると
P（x）＝（a－a）Q（a）
P（x）＝0

最初のP（x）がx－aで割り切れるとする…
というところで証明すべきP（x）が（x－a）を因数に持つということを使ってしまっているような気がするのですがやっぱり間違ってますか？

ちなみに解答では
その前の問題で
整式P（x）を一次式x－aで割ったときの余りをRとすればR＝P（a）となることを示せ
と言うことを証明したので、
これを使って次のようになってます。

P（x）がx＝aで0になる、つまりP（a）＝0ならば前の問題よりR＝0となる。
したがって
P（x）＝（x－a）Q（x）
つまりP（x）はx－aを因数に持つ。つまりある正式Q１（x）を用いて
P（x）＝（x－a）Q１（x）
と表されるならば、この式のxにaを代入して、
P（a）＝（a－a）Q１（a）
つまり
P（a）＝0

回答No.3

noname#185706 · ベストアンサー

＃１です。

>この続きはいらないような気がするのですがこれが模範解答の必要条件の確認にあたるのですか？

P(x)=(x-a)Q(x) を示したところまでが必要条件の証明で、Q1 を用いている部分は、質問者さんの証明と同じで、十分条件の証明です。

Q ではなく Q1 と書いているのは、たぶん前のどこかで (x-a) を因数に持つとは限らない整式 P(x) に対して一般的に
P(x)=(x-a)Q(x)+R
としているので、混同を避けるためではないでしょうか。

こんなページ↓があります。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm

お礼

やっと解決しました。
回答ありがとう御座いました。

私いまいち必要十分について理解できてないみたいです・・・
もう一回必要十分のあたりから勉強してみます。

ありがとう御座いました。

回答No.2

Tacosan

あれ? なんかおかしいなぁ....
「整式P（x）がx＝aで0になる条件はP（x）がx－aを因数に持つこと」
って書かれると, なんとなく
「整式 P(x) が x-a を因数に持てば P(a) = 0」
って解釈したくなるんだけど.... でも, 因数定理は普通
「整式 P(x) が x=a で 0 になるなら x-a を因数に持つ」
の形だよなぁ. どっちを証明するの?

回答No.1

noname#185706

>やっぱり間違ってますか？

十分条件であることは示せても、必要条件であることが示せてないと思います。

補足

回答ありがとう御座います。

ということは逆の確認が要りますね。

あと、もう一つ聞きたいことがあります。

下の模範解答についてわからないところがあるのですが
ある整式Q１（x）を用いて・・・
という部分についてです。
その前のところでP（x）がx-aを因数に持つことはわかっているのですからこの続きはいらないような気がするのですがこれが模範解答の必要条件の確認にあたるのですか？
またそのときQ（x）をそのまま用いずある整式Q（ｘ）を用いるのは何故でしょう？