数学Iの問題についての質問です

質問

今高校一年で問題集をやっているんですが、ある二つの問題に回答単体しか載っておらず困っています。説明というかこうなる経緯をお教え下さい。
1　定数 abcpqを整数として次のxyの三つの多項式を考える
＾2で二乗です
多項式P＝(x＋a)＾2－9c^2(y＋b)^2
多項式Q＝(x＋11)^2＋13(x＋11)y＋36y^2
多項式R＝x^2＋(p＋2q)xy＋2pqy^2＋4x＋(11p－14q)y－77
(1)因数分解せよ　これはなんとか解けました
(2)PとQ、QとR、RとPはそれぞれx、yの一次式を共通因数としてもっているものとする。このときの整数abcpqを求めよ。
一応答えがそれぞれa＝2、b＝1、c＝±3、p＝－9、q＝2
になるそうです。

二つ目の問題です。a＞bでa^2＋3b＝b^2＋3a＝24のときab、b分のa^2－
a分のb^2の値を求めよというものです。この答えは前者が－15、後者は
－5分の8√69になるそうです。
お願いします。

回答No.3

tunertune · ベストアンサー

とりあえず１問目
P=(x-3cy+a-3bc)(x+3cy+a+3bc)
Q=(x+9y+11)(x+4y+11)
R=(x+py-7)(x+2qy+11)
x,yの１次式を共通因数としてもつので
QとRを比べるとRでは(x+2qy+11)が
Qの(x+9y+11)か(x+4y+11)どっちかと一緒だというのが分かる。
　Rで1つにしぼったのは+１１だから
で求める値は整数なので2q=4でq=2
　2q=9だと整数にならない。
同じようにPとQをくらべて
yの係数について　9=±3c　からc=±3
また、11=a+9b→(1)
(c=+3のとき11=a+3bc, c=-3のとき11=a-3bcになっているため）
ここでRの残りの方(x+py-7)がPのどっちかと共通なので
-7=a-9b→(2)
(1)(2)よりa=2 ,b=1
あとはP,Rのyの係数について
p＝－＋3c → p=-9

お礼

なるほど、ありがとうございました

回答No.2

xenotactic

(2)ですが、

たとえばQとRの因数をそれぞれ比較すると
定数項が11という共通点が見出せます。
そこで2q=4または2q=9となりますが、
qは整数なので、2q=4ゆえにq=2となります。

回答No.1

hagy5217

たまたま見かけたのでやってみました。数学を教えている者です。

（２）は（１）の利用ですね。
Ｑを因数分解したものにx,yが入っているので
xの係数、yの係数、定数項を恒等式としてＰ，Ｒを因数分解したものと比較します。

（３）は最初の式をA=B=Cとすると
A-B=0なので、この式を因数分解すると(a+b)の値が出ます。
A+B=48をから左辺を変形させてabの値が出ますので、
さらに左辺を変形させると(a-b)も出ます。

求める式を(a^3-b^3)/abとして分子を因数分解して値を代入です。