高校数学 因数定理

質問

因数定理の基本的な問題は解き方がわかるのですが、応用問題が解けません。
プロセス・考え方のようなものを教えてください。

多項式(x)をx^2-2x+1で割ると余りが4x-5,x+2で割ると余りが-4である。
このとき、P(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

again1212 · ベストアンサー

解く前に、その応用問題がなぜ難しいのかわかりますか？

なぜ難しいのか、それは　x^2-2x+1=(x-1)^2　とキレイに平方完成できる点にあります。

というのは、もしその問題文が

「多項式P(x)をx^2-2x-3で割ると余りが4x-5,x+2で割ると余りが-4である。
このとき、P(x)を(x+1)(x-3)(x+2)で割ったときの余りを求めよ。」

だったら基本問題です。
なぜなら、因数定理を使ってP(-1),P(3),P(-2)で式が３つ作れて、
文字も３つだから連立方程式を解けば楽勝です。

このように、
x^2-2x-3は　(x+1)(x-3)　と因数分解できてP(-1)、P(3)で式が２つ作れるが、
x^2-2x+1は　(x-1)^2 と因数分解できるがP(1)で式が１つしか作れないのです。

だから因数定理をモロに使うと失敗するのです。

じゃあどうすればいいか？
結論から言うと、以下の変形をします。

P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
　=(x-1)^2(x+2)Q(x)+a(x-1)^2+(2a+b)x+(c-a)
　　=(x-1)^2{(x+2)Q(x)+a}+(2a+b)x+(c-a)
　=(x-1)^2 Q'(x)+(2a+b)x+(c-a)　・・・(1)

この作業は　P(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときに成り立つ式を
　　　　　　P(x)を(x-1)^2で割ったときに変えています。
これに何の意味があるのかというと、余りを「係数比較」できる点にあります。

というのは、x^2-2x+1=(x-1)^2ですから問題文から既に
P(x)=(x-1)^2 Q'(x)+4x-5・・・(2)　という式は作れるんです。

(1)と(2)は、まったく同じ式、つまり恒等式です。
よって2a+b=4,c-a=-5と係数比較でき、式が２つ作ることに成功しました。
後はもう一つx+2の方で式を作って終わりですね。

つまり、
この問題はいかにも因数定理の問題と見せかけつつ、実際は恒等式を作り係数比較することによって解くのです。
「因数定理の応用問題」というよりは、「因数定理と恒等式の融合問題」と言えますね。

後、この問題で一つわかるのですが、
因数定理というのはものすごく単純な定理にすぎないということです。
このような難しい問題にはそれだけでは通用しません。
その代わり、単純であるが故に使いやすさはピカイチということです。
基本的で簡単な問題に、わざわざ複雑な式変形を施し係数比較をするなんて誰でもイヤです。そういう簡単な問題なら因数定理だけで良いわけです。

長文失礼しました。

お礼

あぁー、そこで僕は単純な考え方をしてしまったのですね。

とても詳しい回答ありがとうございます。
明確に理解することができました。

とても細かく書いていただいたので、ベストアンサーにさせていただきました。

回答No.3

mister_moonlight

こんなのは、微分を知ってるなら簡単にいく。

P(x)が(x-α)^2　で割り切れるなら、P(α)＝P´(α)＝0　が成立する。(証明は簡単だから、自分でやって。わからなければ、検索するとたくさん出てくる)

P(x)＝Ａ(x)・(x-1)^2＋4x-5　‥‥(1)
　　＝Ｂ(x)・(x+2)-4　とする。‥‥(2)　但し、Ａ(x)とＢ(x)とＣ(x)は各々の商とする。
P(x)＝Ｃ(x)・(x-1)^2(x+2)＋ax＾2＋bx＋c　‥‥(3)　とすると、P(x)-(ax＾2＋bx＋c)＝Ｃ(x)・(x-1)^2(x+2)であるから、P(1)-(a+b+c)＝P´(1)-(2a+b)＝P(-2)-(4a-2b+c)＝0　‥‥(4)
(1)と(2)から、P(1)＝-1、P´(1)＝4、P(-2)＝-4　‥‥(5)

あとは、(4)と(5)を連立すると、係数a、b、c　の値は自動的に出てくる。

お礼

ごめんなさい、まだ高校１年で微分はわかりません...

参考にします、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

P(x) を (x-1)^2(x+2) で割ったときの余りを R(x) とします. R(x) を x+2 で割った余りはいくつ?

お礼

間違って補足にしてしまいました。

ありがとうございました。

補足

参考にして考えてみます、ありがとうございました。