高校一年の因数分解について

質問

(a^2+a)x^3+(2a+1)x^2-ax-1

この因数分解についてなのですが、どうしても解答である、

{(a+1)x+1}(ax^2+x-1)

にたどりつけません。私は最初に展開をしました。

=a^2x^3+ax^3+2ax^2+x^2-ax-1

その後共通因数でくくり出してみましたが、どうも上手くいきませんでした（axやx^2で）。「共通因数をくくり出す」「次数の低い文字について整理する」など、因数分解をする方法は知っているのですが、この場合はどのような方法を使って考えていけばいいのでしょうか？
本当に数学が苦手なので、ヒントややり方など、詳しく教えていただけませんか？　高校に入学したばかりの授業でさっそく躓いてしまい、早く解決したいと思っています。

回答No.5

tinnen · ベストアンサー

すでに回答された方の補充となりますが、展開した式をａの二次式として整理したのが次の式です。

x^3a^2+(x^3+2x^2-x)a+(x+1)(x-1)

ここでa^2の係数x^3に注目するとこの式を因数分解したときのaの係数はx^3と１、x^2とxのどれかになります。（x^3とa^2を掛けた場合というのも考えられますが、この問題の式の複雑さからは当てはめられないと思って間違いないでしょう。）

aの係数がx^3と１だとすると、因数分解した式は次のようになり、展開してみます。（ｓとｔは仮の答えとして扱います。）

(x^3a+s)(a+t)=x^3a+tx^3a+sa+st

ここで、問題の式を展開した式と比較するとx^3aの係数は１ですから、t=1となり、s=x^2-1でなければ、式でaが付かない部分で矛盾が生じます。ところがこの結果に基づいて式を展開すると問題の式に合わないことから、この答えが間違いであると言えます。

では、aの係数がx^2とxとして同様に考えます。

初めに整理した式から、st=(x+1)(x-1)であることがわかりますから、s=x+1でt=x-1の場合は、
(x^2a+x+1)(xa+x-1)=x^3a^2+(x^3+x)+(x+1)(x-1)
となり、問題の式と合いません。

s=x-1でt=x+1の場合は、
(x^2a+x-1)(xa+x+1)=x^3a^2+(x^3+2x^2-x)+(x-1)(x+1)
となり、問題の式と一致します。

私の私見ですが、高校あたりから数学は色々な場合を考えて、条件に当てはまらない解を削除し、正解にたどり着くという作業になるようです。くじけずに頑張ってください。

お礼

とても丁寧な回答で、すごく分かりやすかったです。問題も解決できました。答えにたどりついたときは、今まで凄く悩んでいたので、嬉しかったです。色々な場合を考えていくのは難しいですが、少しずつ慣れていきたいと思います。ありがとうございました。

回答No.4

rentahero

展開をした先について少しだけヒント
aについて整理すると、
= (x^3)a^2 + (x^3 + 2x^2 + x)a + (x^2 - 1)
ですね

(x^3)を二つに分けるには、x^2 と xの組み合わせしかありません。
(x^2 - 1)を因数分解すると・・・？

ここから先はやってみてくださいね。

お礼

aについて整理すればよかったんですね！　その形にする、ということすら考えもしませんでした。数学ってやっぱり難しいですね……。分かりやすい回答、とても参考になりました。問題も解決しました。ありがとうございました。

回答No.3

sunasearch

何かの文字についての２次式で、
因数分解できるのであれば、
「必ず」たすきがけができます。

たすきがけによる因数分解は、展開の逆ですから。

＃この問題を普通に解ける人は、かなり数学が得意な人だと思います。

お礼

たすきがけが出来る、というのは知らなかったです。参考になりました。アドバイス、ありがとうございました。

回答No.2

134

ちなみに、この問題、文字が２つと、ちょっと応用の分野となっていますね。

数学に躓いて、苦手…　なようでしたら、遠回りのように見えますが、基礎問題をたくさん解くことをお勧めします。
　苦手…といいつつ、放棄しない、その姿勢は、尊敬に値します。どうか、頑張ってください。

お礼

応用だったんですね……。難しいです。基礎問題は、自分で問題集を買ってチャレンジしてみたいと思います。回答していただきありがとうございました。

回答No.1

134

展開する方針は、良かったと思います。

このあと、ａについて、降べきの順にする形で、共通因数をまとめると、ａについての２次式になります。

これを、掛けて定数項、足してａでまとまられたカッコの中身…として、タスキ計算すると、解答に近づくと思います。

お礼

降べきの順にしたりするのが大切なんですね。ありがとうございました、参考になりました！