因数定理の問題の別解

質問

QNo.575136 に「因数定理の問題」があります。

P(x)は(x-1)^2で割ると2x-3余り、x-2で割りきれるP(x)を
(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよという問題で、
答えは -x^2 + 4x -4 です。

このQNo.575136 での解き方は分かり易くてよいのですが、
別の解き方もあることを知りました。

まず、
P(x) = (x-1)^2Q(x) + a(x-1)^2 + (2x-3) -------- (1)
とおける。

また、(x-2)で割ると割り切れることから因数定理より、
P(2) = 0 -------- (2)

これを (1)式の余りの式の部分に代入する。
a(2-1)^2 + (2*2-3) = 0
a+1 = 0
a = -1 -------- (3)

求める余りは、(1)式の余りの式の部分に(3)を代入する。
-1(x-1)^2 + (2x-3)
= -(x^2-2x+1) + (2x-3)
= -x^2 + 2x -1 + 2x-3
= -x^2 + 4x -4

この解き方は、計算が簡単で答えが早く求められて良いのですが、
そもそも (1)のようにおける、というところが理解できません。
なぜ、このようにおくことができるのでしょうか？

私には、こーゆー発想は出てきません。
数学のセンスがないのかなぁ。

QNo.575136 の解き方のように
P(x)を(x-1)^2で割った商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-1)^2Q(x)+(2x-3)
と、おくのは教科書どおりなので理解できるのですが・・・。

回答No.2

noname#56760

>>私には、こーゆー発想は出てきません。
数学のセンスがないのかなぁ。

センスの問題ではないと思いますよ。知っているか知らないか、或いは過去に習った異分野を使えるかどうかだと思います。

>>P(x)は(x-1)^2で割ると2x-3余り、x-2で割りきれるP(x)を
(x-1)^2(x-2)で割ったときの余りを求めよという問題

文章がだらだら長いので式で箇条書きにすると
I*P(x)=(x-1)^2Q(x)+2x-3
II*P(x)=(x-2)R(x)
III*P(x)=(x-1)^2(x-2)S(x)+ax^2+bx+c
となります。
1とIIIを合体させるために
Q(x)=T(x)(x-2)+G(x)としてIへ代入すると
P(x)=(x-1)^2Q(x)+2x-3
=(x-1)^2{T(x)(x-2)+G(x)}+2x-3
=T(x)(x-1)^2(x-2)+G(x)(x-1)^2+2x-3
IIIと比較して
G(x)(x-1)^2+2x-3＝ax^2+bx+c
G(x)=aと置けます。
P(x) = (x-1)^2(x-2)Ｔ(x)+a(x-1)^2+(2x-3)
となります。
=================================================
なぜIとIIIを合体させるのかということですが、これはIIの
P(x)=(x-2)R(x)つまりP(2)=0が使いやすいからです。
IのP(x)=(x-1)^2Q(x)+2x-3は2次式(x-1)^2での割り算ですので、
微分を使う解法ならP(1)とP'(1)が必要になります。P(1)だけでは(x-1)で割った場合とかぶりますので。IIIはもっとややこしいです。

回答No.1

kumipapa

＞　P(x) = (x-1)^2Q(x) + a(x-1)^2 + (2x-3) -------- (1)
というのは、
P(x) = (x-1)^2(x-2)Q(x) + a(x-1)^2 + (2x-3)
の間違いですね。

P(x) を (x-1)^2 で割ったときの商を R(x) と置きます。
すると、
P(x) = (x-1)^2 R(x) + (2x-3)
ですね。
さらに、R(x) を (x-2) で割ったときの商を Q(x)、余りを a とすると
R(x) = (x-2) Q(x) + a
と書けますので、
P(x) = (x-1)^2{(x-2)Q(x) + a} + 2x-3
　　　= (x-1)^2 (x-2) Q(x) + a(x-1)^2 + 2x-3