共通弦の問題について！

質問

xy平面状で、円Ｃ：x^2 + y^2 = 1
の外部にある点Ｐ(a.b)を考える
点Ｐから円Ｃに引いた二つの接線をＱ1．Ｑ2
とし　線分Ｑ1Ｑ2の中点をＱとする。

問いが、「直線Ｑ1Ｑ2の方程式を求めよ
　なんです。が、解答をみると。。。
∠ＯＱ1Ｐ=∠ＯＱ2Ｐ=90゜
より、Ｑ1、Ｑ2ｈａＯ、Ｐを直径の両端とする円
x ( x-a ) + y ( y-b ) = 0　上にある。
この円と円Ｃの共通弦として
直線Ｑ1Ｑ2: ax + by = 1

図は普通にかけますが、
途中のいきなりの式が意味不明。。形もへんだなと。
円の式x^2+y-2=r^2
でもないっぽいような・・・。
最後もいきなり共通弦はこれ・・とでてます。
共通弦の公式とかあるんですか？
最後の答え接線の公式　にもにてる・・
x1x + y1y = r^2
いろいろ可能性がめぐってわかりませんｗ
アドバイスお願いします。。。。

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

これは有名な問題です。
点Ｐを極、直線Ｑ1Ｑ2: ax + by = 1を極線といいます。

点Ｑ1(x1、y1)における円Ｃ：x^2 + y^2 = 1の接線は、x1・x + y1・y = 1であり、これが点Ｐを通るから、a・x1 + b・y1 = 1‥‥(1).
同様にして、
点Ｑ2(x2、y2)における円Ｃ：x^2 + y^2 = 1の接線は、x2・x + y2・y = 1であり、これが点Ｐを通るから、a・x2 + b・y2 = 1‥‥(2).

以上、(1)と(2)から、点Ｑ1と点Ｑ2はa・x + b・y = 1の上にある事を示している。
従って、直線Ｑ1Ｑ2の方程式はa・x + b・y = 1である。

回答No.6

pascal3141

x ( x-a ) + y ( y-b ) = 0の式自体は、∠OQ1P=∠OQ2P=90゜の条件から、ベクトルの内積を使って出せます。ベクトルOP=（a,b) ベクトルOQ=(x,y)として、ベクトルPQ=(x-a,y-b)ここでOQとPQが直角なので、OQ・PQ=x(x-a)+y(y-b)=0となります。

回答No.4

3SSS

x ( x-a ) + y ( y-b ) = 0
この式が分からないんですよね？
２点を通る円はこのように書き表すことが出来ます。

これを展開すると
x^2‐ax+y^2-by=0
x^2‐ax+1/4a^2+y^2-by+1/4b^2-1/4a^2-1/4b^2=0
(x-1/2a)^2+(y-1/2b)^2=1/4a^2+1/4b^2
(x-1/2a)^2+(y-1/2b)^2=1/2√(a^2+b^2)
これはＯ、Ｐを直径の両端とする円となります。

また2点(a.b)(c.d)を直径の両端とする円は
(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0
となった気がします。

次の2円の共通弦の方程式は2円の式の引き算により求めることが出来ます。
x(x-a)+y(y-b)-(x^2 + y^2) = -1
x｛(x-a)-x｝+y｛(y-b)-y｝=-1
ax+by=1
となります。こっちの理由は忘れました。

読みにくかったり、うろ覚えの事ばっかり書いてすいません。

回答No.3

oyaoya65

＞ x ( x-a ) + y ( y-b ) = 0 (●)
これはOPを直径とする円の方程式です。
円の方程式の標準形式に変形してみてください。
納得いくと思います。

Q1,Q2は、∠ＯＱ1Ｐ=∠ＯＱ2Ｐ=90゜であることから●の上にあるということですね。

＞直線Ｑ1Ｑ2: ax + by = 1
これはQ1の座標を(u,v)とするとQ1が円
x ( x-a ) + y ( y-b ) = 0
上にあることから
u(u-a)+v(v-b)=0
この式からau+bv=u^2 +v^2 =1
Q1(u,v)は直線 ax+by=1 (■)
にあることが分かる。
また直線OPの式 bx-ay=0
は■と直交する条件を満たしていますね。
これが■が共通接線Q1Q2であることを意味しています。

お分かりでしょうか？

回答No.2

debut

半径と円の接線とはその接点で垂直だから　∠ＯＱ1Ｐ=∠ＯＱ2Ｐ=90゜となり、円周角の定理
で、直径の弧に対する円周角は90゜だから、Ｑ1、Ｑ2はＯ，Ｐを直径の両端とする円上にある
といえます。

さて、その円の方程式は、中心がＯＰの中点（a/2,b/2）、半径が√{(a/2)^2+(b/2)^2}ですから
　　(x-a/2)^2+(y-b/2)^2={√(a/2)^2+(b/2)^2}^2
(x-a/2)^2+(y-b/2)^2=(a/2)^2+(b/2)^2
展開して整理すれば、x^2-ax+y^2-by=0 つまり　x(x-a)+y(y-b)=0 となります。

次に、この式ともとの円の方程式を連立させて x^2とy^2 を消去すれば共通弦の方程式が
求まります。
この場合、「２つの式を連立させた」ということが「交点の座標、または交点に成り立つ
関係式を求めた」と同じであることがわかれば、共通弦の方程式が求まった理由も納得できる
と思います。

この問題の場合、接点Ｑ1,Ｑ2の座標を文字で表し、直線の垂直条件などを利用すれば普通の
やりかたでも解けると思いますので、やってみてもいいと思います。

回答No.1

tatsumi01

途中のいきなりの式って何ですか。
∠ＯＱ1Ｐ=∠ＯＱ2Ｐ=90゜
のことだったら、ＯＱ1、ＯＱ２は円の半径ですから、接線と直交するから成立します。
この式が成立すると、△ＯＱ1Ｐは直角三角形ですから、Ｑ1はＯＰを直径とする円の周上にあります（Ｑ２も同じ）。
あと、細かい式はチェックしてません。