平面上のベクトルの垂直条件

質問

平面上のベクトルの垂直条件を，内積を用いずに証明してみました。
添付画像のように点A，点Bの座標を定め，2直線の垂直条件から
(a2/a1)×(b2/b1)=-1　a2b2=-a1b1　a1b1+a2b2=0
以上でよろしいですか。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

WiredLogicさん
確かに、トートロジーは微妙かとも思います。
「前提知識」によって、変わりますよね。

ただ、「傾き」と「方向ベクトル」は直線の特性として同じことを指しているので、
「垂直条件」に「垂直条件」を使うのはどうかと思った次第です。
「証明しました」ってのが言い過ぎなのかとも感じました。

逆に、こういう質問で内積を使って説明してたりもしますので。
http://okwave.jp/qa/q3697329.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q3697329.html

お礼

参考URL誠にありがとうございました。

回答No.2

WiredLogic

#1さんの「トートロジー？」というツッコミですが、
前提条件次第で、下手にツッコミ出せば、
大抵の数学の証明は、
「トートロジー」になってしまいます。

例えば、図形と方程式⇒ベクトル の順で学んで来た高校生が、
図形と方程式で身に付けた知識を元に証明した証明として、
または、
大学入試で「内積を用いずに証明せよ」という形で出題された問題の答として、
ならば、

証明の質問に書いてある部分は、問題ありませんが、
それだけでは、a1やb1が0になる場合＝片方の「傾き」がない場合、
をカバーできてないのが、減点対象になるので、
そこを個別に場合分けをして対処しないといけない、

ということになります。

お礼

>証明の質問に書いてある部分は、問題ありませんが、
>それだけでは、a1やb1が0になる場合＝片方の「傾き」がない場合、
>をカバーできてないのが、減点対象になるので、
>そこを個別に場合分けをして対処しないといけない

難しいですね。実は代数・幾何時代の数学IIには，ベクトルの内積は含まれていなかったんですよ（ただしほとんどの教科書で【発展】として扱われていた）。

補足

手持ちの教科書『高等学校 新数学II』（数研出版，1987）では，ベクトルの応用として位置ベクトル，内分点・外分点，三角形の重心，平行条件・垂直条件，大きさ，直線のベクトル方程式が扱われており，章末に【発展】として内積が扱われております。

回答No.1

naniwacchi

文章を並び変えると、

＞平面上のベクトルの垂直条件を，
＞「2直線の垂直条件から」（内積を用いずに）証明してみました。

トートロジーですか？？