垂直なベクトルは…

質問

ベクトルa＝(2,1)に垂直で、大きさ√5のベクトルuを求めなさい。

これはまず、ベクトルuの成分を(x,y）とする。
aとuは垂直であるから、内積a・u＝0である

よって 2x+y=0…(1)

またuの大きさが√5であるから　x^2 + y^2=5…(2)

(1)と(2)が分からないのですが…
(1)は見た感じ、aとuのｘ成分ｙ成分それぞれの積の和なんでしょうか…？a⊥b→a・b＝0　まではわかりますが…。
また何かほかに公式があるのでしょうか…？

(2)「大きさ」が√5なわけだから、「大きさ」では向きが分からないから、無理やり2乗すれば 正方向になるから、2乗したもの＝5
という風にやっているのでしょうか？

ところでベクトルの２乗って、大きさ３のベクトルを２乗すると３＾２
の大きさになる、と考えていいのでしょうか？
lal=3 のときlal^2=a・a=lallalcos0=9
と考えられるしよさそうですけど…。

けど、ベクトルu=(x,y)を2乗すると…？x^2 +y^2=(√5)^2
ｘ成分ｙ成分それぞれ2乗してそれらの和が、元のベクトルの大きさの2乗に等しい…？なんか混乱してきました…。

初歩的なことですが、すみません…。
*→は上につけれなかったので仕方なく省略させてもらいました…。

回答No.2

debut · ベストアンサー

公式、ありますよ。
a→=(a1,a2),b→=(b1,b2),２つのベクトルのなす角を
θとするとき、内積a→・b→は
［　｜a→｜｜b→｜cosθ　］
または成分で
［　a1*b1+a2*b2　］
と、２通りで計算できます。

大きさの方は、√５を斜辺(残りの辺はｘ、ｙ）とする
直角三角形で三平方の定理です。

補足

あ、この2番目の公式ですね…。
いま黄チャをやっていたのですが、指針のところにa・b＝0の利用としか書いてなくて、分かりませんでした…。
a・b＝a1b1+a2b2　もちゃんと覚えておきます、ありがとうございました。

回答No.5

kkkk2222

＃４です。誤植の山で、

貴殿のＴＥＸＴを、見てください。

訂正しますが、誤植が残りそうで、

（vectｐ）=(p1,p2)
（vectｑ）=(q1,q2)

（vect ｐ）・（vect ｑ）＝(p1*q1)+(p２*q２)

さらに、（vectｐ）と（vectｑ）が垂直のときは、
（vectｐ）・（vectｑ）＝０
(p1*q1)+(p２*q２)＝０

お礼

回答ありがとうございました。
複素数平面は、高校の指導要領外です…。
大学いったらやるだろうか…と思いますが。
行列のところとリンクするのですか、ありがとうございます！

回答No.4

kkkk2222

＞＞(1)と(2)が分からないのですが…
＞＞何かほかに公式があるのでしょうか

（１）は＜内積の定義と同値＞、
何れも、無断使用可能で、
一般的には、
（vectｐ）=(p1,p2)
（vectｑ）=(q1,q2)
（vectｑ）・（vectｑ）＝(p1*q1)+(p1*q1)
さらに、（vectｑ）と（vectｑ）が垂直のときは、
（vectｑ）・（vectｑ）＝０
(p1*q1)+(p1*q1)＝０

此の問題に適用すると、
（vect a）=(2,1)
（vect u）=(x,y)
（１）　２ｘ＋１ｙ＝０

ーーー
（２）
＞＞大きさ√5のベクトルu＝（ｘ、ｙ）
此の文章を定式化したのが、
（２）　（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）＝（√5）＾２・・・三平方

ーーー
＞＞ベクトルの２乗って・・・
無理に解釈すると、（外積）となり、
本問題では、（ベクトルの２乗）は考慮外と・・・。

＞＞ベクトルu=(x,y)を2乗すると・・・なんか混乱。
上記の様に、（ベクトルの２乗）と無理な設定が原因です。

ーーーー
質問とは無関係ですが、
（１）　２ｘ＋１ｙ＝０
（２）　（ｘ＾２）＋（ｙ＾２）＝５　を解くと、
ｕ＝（ｘ、ｙ）＝（－１、２）、（１，ー２）

ーーー
何れ、複素平面、回転行列を知ると・・・。

回答No.3

fukuda-h

>(1)と(2)が分からないのですが…何かほかに公式があるのでしょうか…？
(1),(2)ともに公式です
（１）は成分による内積の計算方法です
　　(a,b)・(c,d)＝ac+bdと計算します
（２）はベクトルの大きさの計算方法で
|(a,b)|＝a^2+b^2と計算します

＞ところでベクトルの２乗って、大きさ３のベクトルを２乗すると３＾２
＞の大きさになる、と考えていいのでしょうか？
＞lal=3 のときlal^2=a・a=lallalcos0=9
これは正しい。OKです

＞けど、ベクトルu=(x,y)を2乗すると…？x^2 +y^2=(√5)^2
＞ｘ成分ｙ成分それぞれ2乗してそれらの和が、元のベクトルの大きさの2乗＞に等しい…？なんか混乱してきました…。
これはだめです。ベクトル同士の掛け算はありません。
内積で（x,y)・(x,y)=｜(x,y)|^2＝x^2 +y^2=(√5)^2
自分自身との内積は大きさの２乗になりますから　大きさを考えると２乗はあります

＞なんか混乱してきました…。
かなり混乱されているようですが、ベクトルは普通の実数の計算感覚では無いので成分による計算方法、内積の計算に意味をもう一度よく調べなおした方がいいでしょうね

回答No.1

zk43

2x+y=0から、x,yの比が1:-2です。
よって求めるベクトルは(x,-2x)です。
この大きさが√5になるようにxを決めればよい。
２つあります。

補足

回答ありがとうございます。
すみません…　2x+y=0の求め方がわからないのです…。
図形的にベクトルa=(2,1)だから　原点と点(2,1)を通る直線を引いて、それに直行する直線の方程式は、逆数とってマイナスだから-k(1,2)が直行する求めるベクトルの成分の必要条件かな、と分かるのですが…。