平面のベクトル内積＝０で垂直になる理由？

質問

平面と平面の位置関係が垂直になる時、内積がゼロになることに関しまして、

なぜなのかを、可能ならば　直感的に理解したいです。

ベクトルの基本は勉強しましたが・・・　

突然、「垂直ならば　この計算の答えがゼロになる」　と教わっただけで、まだ腑に落ちないでいます。

もしも良い説明がありましたら、よろしくお願いいたします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

>なぜなのかを、可能ならば　直感的に理解したいです。

visualにいうこととして、幾何学的に考えてはどうですか。

ベクトルA↑とベクトルB↑の内積IPは

IP=A↑・B↑＝|A↑||B↑|cosθ

であって|A↑|、|B↑|はベクトルの大きさ、θはA↑、B↑のなす角度です。

IP=A↑・B↑＝0

は

θ＝90°

を意味することが解ります。

いいかえるとIP=A↑・B↑はA↑がB↑に落とす影（射影）であって、垂直なら影が0ということです。

0でない場合はA↑とB↑は平行成分を有して、相互に影を落とすということです。

お礼

垂直なら影が０・・・
平行成分を有している・・・　という言い方が、とてもわかりやすかったです！

どうも、ありがとうございました！

回答No.5

toshih2000

ベクトル A B がある時
θをベクトルA,B間の角度とすると

内積 A・B = |A|・|B|cosθ

って教わりませんでした?
(成分ごとの積の和でも出せますが..)

ベクトル A,B の大きさがどちらも 0で無いならば

内積が 0 と言うことは cosθ が 0 ということであり
角度は90度であると言うことですよ。

お礼

cosθ＝０　→９０度

これで、完璧に納得出来ました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

質問の内容が不明です。

内積とはなんのベクトルの内積でしょう？
平面の内積というものはないです。
平面に含まれるベクトル同士？　平面の法線ベクトル同士？

知りたいのは垂直なベクトルの内積が0になる理由ですか？
それとも平面の位置関係に関係する何かですか？

お礼

質問がわかりづらくて、すみません。

他の方が回答してくださったので・・・。

いずれにしても、どうもありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

・ベクトルの内積とはどのような計算なのか
・「垂直」とはどのような状態なのか
をまず決めておく必要があります.

極端に言えば
「2つのベクトルが垂直であるとは, それらの内積が 0 になることである」
と定義すれば (そして一般のベクトルについては実際このように定義するのだが) 「垂直ならば　この計算の答えがゼロになる」のは「直感的に明らか」ですよね?

お礼

定義をする、という方法もありますね…。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
「法線ベクトルの」内積がゼロになることについてですよね？

法線ベクトルは平面に垂直なベクトルなので、
2つの平面の位置関係が垂直になっていれば、それぞれに垂直なもの同士も垂直になりますよね。

たとえば、直方体の隣り合っている2つの面を選べば、位置関係は垂直ですよね。
そして、それぞれの面に垂直になっている辺が存在します。
それらの辺が垂直になっている(直交している)ことはわかりますか？

お礼

さっそくのご回答を、どうもありがとうございます。

すみません。質問の仕方が悪かったです。

平面の話にしたのが、間違えでした。

私が知りたかったのは、そもそもベクトルの内積がゼロになるときに、どうして垂直になるのか・・・そのことを、　可能ならば　直感的に理解したいということでした。

いずれにせよ、早速のご回答を、どうもありがとうございました！