平面のベクトル方程式でわからないことが。。。。

質問

平面のベクトル方程式でわからないことが。。。。

３点A（1,-1,0）B（3,1,2）C（3,3,0）を通る平面の方程式を求めよ

という問題で、求める法線ベクトルをnベクトル＝（a,b,c）とすると、
nベクトルとABベクトルは垂直だからnベクトル×ABベクトル＝０
ゆえに2a+2b+2c=0(1)

nベクトルとACベクトルも垂直であるから
nベクトル×ACベクトル＝０ゆえに
2a+4b=0・・・(2)

(1)と(2)よりnベクトル＝ｂ（-2,1,1） ｎベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない

ゆえに求める平面は点A（1.-1,0）を通りnベクトル（-2,1,1）に垂直は平面であるので

2x-y-z-3=0である。

という解説があったのですが、

[(1)と(2)よりnベクトル＝ｂ（-2,1,1） ｎベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない
ゆえに求める平面は点A（1.-1,0）を通りnベクトル（-2,1,1）に垂直は平面である。]
の部分がわかりません。
まず、
「(1)と(2)よりnベクトル＝ｂ（-2,1,1）」という式は理解できます。
「ｎベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」・・・これもわかります。

「ゆえに求める平面は点A（1.-1,0）を通りnベクトル（-2,1,1）に垂直は平面である。]・・・
これが理解できません。nベクトル＝ｂ（-2,1,1）なのに、なんでbが消えているんでようか？
それと「ゆえに」とありますが、前文の「ｎベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」
とこのことは関係があるのでしょうか？

もしかして、「３点A,B,Cが一直線上にあるときACベクトル＝KABベクトルとなる実数Kがある」
という基本事項がありますが、nベクトル＝ｂ（-2,1,1）もその形なので、（-2,1,1）と垂直といえるってことですか？そのために、bが０だとこの式が成り立たないので、b=０ではないってことを
いっているんでしょうか？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

b≠ 0であることは、平面が平面として存在するために必要な条件ですね。
このまま bを消さなくても、平面の方程式を求めることができます。

以下で bを消さない場合の解答（の書き方）を記しておきます。
-----------------------------------------
(1)と(2)より n→の成分は b* (-2, 1, 1)（b：定数）と表される。
n→は 0→ではないから、b≠ 0である。

法線ベクトル：n→＝ (-2b, b, b)（b≠ 0）より、この平面の方程式は
-2bx+ by+ bz+ d＝ 0

と表される。

そして、この平面は点A(1, -1, 0)を通るから
-2b- b+ 0+ d＝ 0
d＝ 3b

求める平面の方程式は、
-2bx+ by+ bz+ 3b＝ 0
-2x+ y+ z+ 3＝ 0（∵ b≠ 0）
-----------------------------------------

ベクトルの大きさだけを握っている bの値には関係ないことがわかると思います。
あくまでも「方向＝成分の値の比」だけが重要なので、b＝ 1とおいても構わないということになります。

ベクトルの定数倍は「平行」という意味になりますね。

お礼

別の解答までおしえていただきありがとうございました。
おかげで理解が深まりました。

回答No.2

noname#118938

点A（1.-1,0）を通りnベクトル(-2,1,1)に垂直 ⇒2x-y-z-3=0
　点A（1.-1,0）を通りb(-2,1,1)に垂直(b≠0)⇒bが消えて2x-y-z-3=0
b=0としたら　平面の方程式は無数にあって矛盾。

お礼

そいういうことですね。よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#185706

>nベクトル＝ｂ（-2,1,1）なのに、なんでbが消えているんでようか？

いまの場合、法線ベクトルは方向だけが問題で、大きさは 0 以外なら何であってもかまいません。そもそも、その大きさ（よって b の値）は求められません。よって簡単のために b = 1 としたのでしょう。

>「ゆえに」とありますが、前文の「ｎベクトルは0ベクトルではない。ゆえにb=0ではない」とこのことは関係があるのでしょうか？

nベクトルは0ベクトルではない　→　b=0 ではない　→　b=1 としてもよい

という流れでしょう。

お礼

なるほど！！そういうことか！！わかりやすい説明ありがとうございました。