ベクトルで困ってます

質問

座標空間内に4点Ａ(1.2.3)Ｂ(3.-1.2)Ｃ(2.-3.-1)Ｄ(1.2.-3)があり、
3点ＡＢＣを含む平面をαとします。点Dを通り平面αに垂直な直線とαとの交点をＨとする。

①2つのベクトル↑AB↑ACの両方に垂直なベクトルを1つ求めよ

②点Ｈの座標を求めよ
③点Ｈを中心とする半径4の平面α上の円と直線ACとの交点をそれぞれP.Qとするとき
三角形HPQの面積を求めよ

という問題がわかりません
どなたか解説していただきたいです

答えは①(1.1.-1)②(-1.0.-1)③24√5/7です。

どうかお願いします

回答No.3

de_tteiu

Ｍは直線AC上にあるので、
Ｍ：（1,2,3）＋s（1,-5,-4）
と置けますね

そうすれば後は
→ＨＭ、→ＭＡが出るので計算できるかと

回答No.2

de_tteiu

(1)外積を使う
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi?target=/math/category/vector/gaiseki.html
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/category/vector/gaiseki-seibunhyouji.html

(2)→ＤＨ＝（ｔ、ｔ、－ｔ）　（∵(1)）と置けるので
Ｈ（１＋ｔ、２＋ｔ、－３－ｔ）
ここから→ＤＨ・→ＡＨ＝０を使う

(3)Ｐ、Ｑの中点をＭとすると→ＨＭ⊥→ＭＡなのでＭの座標が求まり、｜→ＨＭ｜も求まる
後はここから、ＭＰとかも求まるので計算するだけ

補足

(1)(2)はわかりました！！
ありがとうございます
しかし（３）で、→ＨＭ⊥→ＭＡとなるのはわかるのですが
式の立て方がわからずMが求められませんでした・・・・

回答No.1

sanori

こんばんは。

まる１

垂直ということは内積がゼロ。
内積とは、
ｘ成分同士の掛け算　＋　ｙ成分同士の掛け算　＋　ｚ成分同士の掛け算

求めるベクトルを（ａ、ｂ、ｃ）と置けば、
ＡＢ→　＝　（２、－３、－１）　より
２ａ　－　３ｂ　－　ｃ　＝　０　　・・・（あ）
また、ＡＣ→　＝　（１、－５、－６）　より
ａ　－　５ｂ　－　６ｃ　＝　０　　・・・（い）
（あ）と（い）から求まります。
式が２本しかないので無限通りのベクトルができますが、
「約分」みたいなことをすると１通りになります。

まる２
まる１の結果とＤの座標を利用して、αに垂直な直線の方程式は、
（ｘ－１）／ａ　＝　（ｙ－２）／ｂ　＝　（ｚ＋３）／ｃ
となります。
αの方程式も組み入れて連立方程式にすれば解けます。

まる３
まる１もまる２もわからないあなたにとって、今この問題に取り組むのは意味がありませんので、
もう少し力をつけてからチャレンジしましょう。
それが得策と思います。

言い換えれば、
まる１とまる２は高校数学の中で特に重要なところの一つで、
まる３はそれほどでもないということです。