平面とベクトル

質問

空間内の3点O(0,0,0),A(2,1,-2),B(-2,3,-2)を通る平面πと
点P(5c、c+1、c-1}を考える。

（１）点Pが平面π上にあるように、定数cの値を求めて下さい。

（２）平面πに垂直な大きさが１のベクトル(単位ベクトル）eの成分表示を求めて下さい。

（３）Pは平面πにないとします。
点Pを通り平面πに垂直な直線ｌと平面π都の交点Hの座標を、
eを用いて表してください。

（４）Pは平面πにないとします。
平面πに関して点Pと対称な点Qの座標を、eを用いて表してください。

難しい問題みたいです…。
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.4

178-tall

#2 → 確かに煩雑。
Two by two にしても、まだこの大雑把さ。

>（３）Pは平面πにないとします。 点Pを通り平面πに垂直な直線ｌと平面π都の交点Hの座標を、eを用いて表してください。

(1) の結果から c=0 らしいから、p (5c,c+1,c-1) = p (0,1,-1) 。

P は平面π上にないって、ほんと？　
一応、(0,1,-1) = s*(2,1,-2) + t*(-2,3,-2) が可解か否かでテスト。
x 成分から s=t、z 成分からは s≠t で不可解。確かに P は平面π上にないらしい。

　h (xh, yh,zh) = p + k*e = m*a + n*b
を満たす k, m, n を求めればよい。
e は (1/3, 2/3, 2/3 ) だったので、
　xh = k/3 = m*2 - n*2
　yh = 1 + 2k/3 = m - n*3
　zh = -1 + 2k/3 = -m*2 - n*2
の連立を解け、ということ。

>（４）Pは平面πにないとします。平面πに関して点Pと対称な点Qの座標を、eを用いて表してください。

(3) で得られた h に、さらに k*e を加えてチョン。
　q = h + k*e
かな？

未試算につき、要注意！

回答No.3

yyssaa

ベクトルOAを↑OA、↑と↑の内積を↑・↑と書きます。
（１）点Pが平面π上にあるように、定数cの値を求めて下さい。
＞↑OA=(2,1,-2)、↑OB=(-2,3,-2)、↑OP=(5c,c+1,c-1)
↑OAと↑OBを含む平面がπであるから、点Pがπ上にあれば
↑OP=m↑OA+n↑OB(m,nは実数)が成り立つ。
よって、5c=2m-2n、c+1=m+3n、c-1=-2m-2n、
これを解いてc=0・・・答え
（２）平面πに垂直な大きさが１のベクトル(単位ベクトル）eの成分表示を求めて下さい。
＞↑eの成分表示を(a,b,c)とすると
↑e・↑OA=2a+b-2c=0、↑e・↑OB=-2a+3b-2c=0、からb=c=2a
これをa^2+b^2+c^2=1に代入a^2+4a^2+4a^2=9a^2=1からa=1/3
b=c=2/3、よって、↑e=(1/3,2/3,2/3)・・・答え
（３）Pは平面πにないとします。
点Pを通り平面πに垂直な直線ｌと平面π都の交点Hの座標を、
eを用いて表してください。
＞↑OH=(x,y,z)とすると、↑OH=↑OP+m↑e(mは実数)から
↑OP+m↑e=(5c+m/3,c+1+2m/3,c-1+2m/3)=(x,y,z)
x=5c+m/3、y=c+1+2m/3、z=c-1+2m/3
点Hはπ上にあるので↑OH=s↑OA+t↑OBから
x=2s-2t、y=s+3t、z=-2s-2t、s、tを消去してx+2y+2z=0
このx、y、zに上の式を代入してmを求めると、
5c+m/3+2*(c+1+2m/3)+2*(c-1+2m/3)=9c+3m=0からm=-3c
x=5c+m/3=5c-c=4c、y=c+1+2m/3=c+1+(2/3)*(-3c)=-c+1
z=c-1+2m/3=-c-1
よって、交点Hの座標は(4c,-c+1,-c-1)・・・答え
（４）Pは平面πにないとします。
平面πに関して点Pと対称な点Qの座標を、eを用いて表してください。
＞↑OQ=(x,y,z)とすると、↑OQ=↑OH-↑HP
↑HP=↑OP-↑OHだから
↑OQ=↑OH-↑HP=2↑OH-↑OP=2*(4c,-c+1,-c-1)-(5c,c+1,c-1)
=(3c,-3c+1,-3c-1)
よって、点Qの座標は(3c,-3c+1,-3c-1)・・・答え

回答No.2

178-tall

>難しい問題みたいです…。

難しい問題…じゃないのでしょうけども、煩雑ではありますね。
以下、O(0,0,0) を始点とし A(2,1,-2) あるいは B(-2,3,-2) を終点とするベクトルを a あるいは b などと略記。

基本路線は #1 さんが出されてますね。
(1) と (2) を逆順で解く手だけでも。

>（２）平面πに垂直な大きさが１のベクトル(単位ベクトル）eの成分表示を求めて下さい。

点 O にて平面πに垂直なベクトル n (xn, yn, zn) を想定すると、(n・a) = (n・b) = 0 のはず。(n・a) は n と a の内積。
　 2*xn + yn = 2*zn
　-2*xn + 3*yn = 2*zn
連立解は E = (zn/2, zn, zn )。
これを √(E・E) = 3zn/2 で割った (1/3, 2/3, 2/3 ) が求める e 。

>（１）点Pが平面π上にあるように、定数cの値を求めて下さい。

点 O から P へ向かうベクトル p (5c、c+1、c-1) と e (1/3, 2/3, 2/3 ) とは直交するはず。
(p・e) = 0 ということだから、
　0 = 5c/3 + 2(c+1)/3 + 2(c-1)/3
これから c を知り得る。

…と、飛ばしすぎ？
「眉唾」でゆっくりと吟味してみてください。

お礼

了解しました！

ゆっくり吟味してみます^^*
ありがとうございました^^

回答No.1

muneneko

(1)
平面の方程式を求めます。

z=a1x+a2y+a3　

に、この平面を通る座標O(0,0,0),A(2,1,-2),B(-2,3,-3)を代入してa1,a2,a3が決まるので、平面の方程式が求まります。
(5c,c+1,c-1)がこの平面の方程式を満たすように、cを決定します。

(2)
e↑=(e1,e2,e3)として、これらが満たす条件を考えます。
平面上の平行でない2つのベクトルと垂直に交わる(内積が0)
※なんでもいいです。OA↑やOB↑でもいいですが、平面の方程式から(x,y,z)のどれかに0を代入して求めたベクトルのほうが計算が楽で良いかもしれません。
単位ベクトルであるから|e|=1
として、これらを満たすようにe1,e2,e3を決定します。

(3)
点Pから(2)で求めたベクトル方向に進めば、平面(交点H)にぶち当たるはずです。

OH↑=OP↑+ke↑(kは定数)

が(1)で求めた平面の方程式を満たすようにkを決定し、座標Hを求めます。

(4)
点Pから(3)で求めたke↑だけ動けば点Hが、その2倍動けば点Qがいるはずです。

OQ↑=OP↑+2ke↑(kは(3)で求めた値)

イメージだけで解いているので、間違ってたら申し訳ないです；