至急お願いします！！！！数学のベクトルについてです

質問

座標空間に、3点Ａ（３，１，２）、Ｂ（５、-１，２）、Ｃ（３、-１，４）がある。
（１）平面ABCに垂直な単位ベクトルをすべて求めよ。

（２）xy平面上の点P（X,Y,0）を通り、平面ABCに垂直な直線と平面ABCとの交点をHとする。このとき|PH↑|をXとYを用いて表せ。

（３）点Pがxy平面上の楕円x^2+3y^2=3上を動くとき、四面体PABCの体積の最大値と、そのときの点Pの座標を求めよ。

外積、投射影？といったものは習っていないので使えません。

どうかお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
平面ABCは1つしかないので単位法線ベクトルは、平面ABCに垂直なものと、その逆向きのものの2つしか存在しません。
点Aを通る平面ABCの方程式を
　a(x-3)+b(y-1)+c(z-2)=0 …[1]
とおくと点B,点C通る条件から
　2a-2b=0, -2b+2c=0
b=1とおくと a=c=1
[1]に代入して　x-3+y-1+z-2=0
したがって平面ABCの方程式は
　x+y+z=6　…[2]
平面ABCに垂直なベクトル（法線ベクトル）は
　t(1,1,1) (tは任意定数）
単位法線ベクトルは絶対値√3で割ればよいからt=±1/√3とおいて
　±(1/√3,1/√3,1/√3)

(2)　
xy平面上の点P（X,Y,0）を通り、平面ABCに垂直な直線は
　(x,y,z)=(X,Y,0)+t(1,1,1)=(X+t,Y+t,t) (tは媒介変数) …[3]
この直線と平面ABCの交点Hの座標は[3]の(x,y,z)が[2]を満たすことから
　(X+t)+(Y+t)+t=6 ∴t=(6-X-Y)/3 …[4]
[4]を[3]に代入すれば、Hの座標が得られます。
　H((6+2X-Y)/3,(6-X+2Y)/3,(6-X-Y)/3)
　PH↑=H↑-P↑=((6-X-Y)/3,(6-X-Y)/3,(6-X-Y)/3)
　|PH↑|=|((6-X-Y)/3)(1,1,1)|=|6-X-Y|(√3)/3

(3)
四面体PABCの体積V=(△ABCの面積)*(高さ)/3
高さh=|PH↑|=|6-X-Y|(√3)/3
AB=BC=CA=2√2なので△ABCは一辺 2√2の正三角形なので△ABCの面積S=2√3
　V=Sh/3=(2/3)|6-X-Y|
P点(X,Y,0)は楕円「x^2+3y^2=3(z=0)」上の点なので
　X^2+3Y^2=3
　(X/√3)^2+Y^2=1…[5]
6-X-Y＞6-√3-1=5-√3＞0なので
　V=(2/3)(6-X-Y)
X=(√3)cos(t),Y=sin(t)(t=0～2π)　…[6]
とおくと[5]は常に満たされるので
　V=(2/3)(6-√3cos(t)-sin(t))
　 =(2/3)(6-2sin(t+π/3))=(4/3)(3-sin(t+π/3))
sin(t+π/3)=-1(t=7/6π)のとき V=V(Max)になります。
　このときのP点の座標は[6]から出ます。

お礼

ありがとうございます（＾0＾）
自分が思いついたのと違った方法だったのでとてもためになりました（特に（３）の媒介変数）
今後はこの方法も使ってみようと思います