ベクトルにおける、任意の点を通る法線ベクトル

質問

はじめまして。
今、ベクトルを勉強しています。

ちょっと疑問におもったのですが、
平面ベクトルで(1,2)を通りa↑=(2,1)に対して垂直なベクトルの成分を知りたい場合、どのように求めればよいのでしょうか？
同様に、垂直ベクトルで(1,2,3)を通りa↑=(3,1,4)に対して垂直なベクトルの成分はどのように求めることができますか？

ある点を通って、あるベクトルに対して垂直なベクトルというものの求め方を知りたいのです。
求めるベクトルをb↑=(x,y)とおいたとき、a↑・b↑＝0より2x＋y=0となることまでは分かるのですが、ここからある点を通るという条件をどう結びつければよいかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>2x＋y=0となることまでは分かるのですが、ここからある点を通るという条件をどう結びつければよいかわかりません。

この先は
x=tとおくと　y=-2t
なので垂直なベクトルは成分表示で　(x,y)=(t,-2t)=t(1,-2)
となります。

>(1,2)を通り
この点を通るという条件を付け加えるには
(X,Y)=(1,2)+(x,y)=(1,2)+t(1,-2)=(1+t,2-2t)
とすれば良いですね。
求めるベクトルの成分表現は　(1+t,2-2t)(tは媒介変数)

後半)
垂直ベクトルで(1,2,3)を通りa↑=(3,1,4)に対して垂直なベクトルの成分
b↑=(x,y,z)とおき垂直条件a↑・b↑＝0より
3x+1y+4z=0
x=s,z=tとおくと　y=-3s-4t
(x,y,z)=(s,-3s-4t,t)

>(1,2,3)を通り
この条件を付け加えると
(X,Y,Z)=(1,2,3)+(x,y,z)=(1+s,2-3s-4t,3+t)
(s,tは媒介変数）
これが求めるベクトルの成分表示になります。
（このベクトルはa↑=(3,1,4)に垂直な平面を表すベクトルです。）

回答No.1

noname#154783

ベクトルは，位置の情報を持っておらず，向きと大きさの情報だけを持っています．
だから，AB↑とCD↑が平行(かつ同じ向き)で，大きさが同じなら
AB↑ = CD↑
なんです．

※「位置ベクトルというものがあるじゃないか」と思うかもしれませんが，
あれは，飽くまで「原点を始点とする」という約束の下に，
それぞれの位置をベクトルで表現しているにすぎません．

だから，「点(1,2)において」であろうが，「点(5,3)において」であろうが関係なく，
「a↑ = (2,1) に垂直なベクトルn↑」は飽くまで
「2x + 1y = 0 を満たす0でないベクトルn↑ = (x,y)」
すなわち「n↑ = k(1,-2) (k ≠ 0)」
ということになります．

私も高校で初めてベクトルを習ったとき，同じような疑問を持ちました．

ただし，「平面ベクトルで(1,2)を通りa↑=(2,1)に対して垂直な直線」
というなら話は別で，
この直線上の点X(x,y)の位置ベクトルをx↑ = (x,y)，
点P(1,2)の位置ベクトルをp↑ = (1,2)とすると，

PX↑ = x↑ - p↑ は常に a↑ = (2,1) と垂直ですから，
a↑・(x↑ - p↑) = 0
というベクトル方程式によって求める直線を表すことができ，
成分で表すと，
2(x - 1) + 1(y - 2) = 0
すなわち
2x + y -4 = 0
というようにして直線の式が求められます．