フーリエ級数展開について

質問

先日フーリエ級数について質問したものですが、こんがらがってしまったので質問させてください。

フーリエ係数を求める公式で

an=2/T*∫f(t)sin(nωt)dt(-π≦t≦π)
bn=2/T*∫f(t)sin(nωt)dt(-π≦t≦π)

とありますが、tって時間関数ですよね？
時間関数を積分するのに一周期を2π[rad]とするのはおかしくないですか？
T=2πだからと話を進めているHPや、横軸に『t[s]』と書いてあるのにメモリを見るとπ/2やπといった値が振ってあるHPもあります。(http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-2Fourierkyusu.htm)
それとも実は2π[s]ということなのでしょうか？

意味がわからなくなってしまったので、助けてください。お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

attention0 さんが勘違いまたは間違って覚えて見えるだけで、
A#2をよく読んでいただけば理解できると思います。

A#1の補足質問について
>ということはWikipediaの記述や、
>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
>http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-2Fourierkyusu …
>といったHPが間違っているということでしょうか？
誤解を受けやすい例ですが両方とも間違っていません。

Tを周期(単位[s]とすると
ωT＝2π[rad] の関係があり
T=2π[s]だとω=1[rad/s]の関係にあります。

Wikipediaのan,bnのケースでは、周期T=2π[s]と書いてありまさにω=1[rad/s]のケースです。したがってtの積分範囲も[-T/2,T/2]=[-π,π]で範囲の下限、上限の単位も[s、秒]となっています。

後者のURLの方では、an,bnの式や展開式にωoが入っており、積分の範囲もTを使って記述してあり問題なしです。
「式2-2-1フーリエ級数展開について解説」では
図2-2-1の鋸歯波形やフーリエ級数の式(2-2-3)ではT=2π[s],ωT=2π[rad],ω=1[rad/s]と
なっているだけで全く問題なしです。πと出てきたら単位が[rad]と勘違いしてはいけません。π=3.14159…という単なる数値と考えて下さい。単位はt,T,ω,などの変数に意味づけして付けられるものでπ自体は単位のない数値、t=πとしtを時間単位とすればπ[s]となります。πをsin(π)、cos(π/3)とした使い方の場合は、位相なので単位は[rad]となりπ[rad],π/3[rad]という角度として扱います。

回答No.2

info22_

>tって時間関数ですよね？

数学的には、tは単なる文字変数に過ぎないのでtを時間変数（時間関数ではない）である必要は必ずしもないです。定義次第です。変数に物理的な意味を持たせる場合は
フーリエ級数展開の関数f(t)やf(x)などの変数t,xは時間(s)や長さ(m)など文字変数として扱うことが多いという事だけです。
周期は繰り返し波形の周期のことで時間周期や長さ周期だったりします。

tを時間変数(単位s,秒)とした場合、sin(nωt)の nωtは位相で無次元ですが、便宜的に角度「°」やラジアン[rad]の単位をつけています。nは無次元の変数、nωtも無次元、tは[s]の次元の変数ですが、nωtを位相とみなして[rad]の単位を用いると
ωtは[rad]の単位、tは[s]の単位なので、ωの単位は[rad/s]となります。このωは角周波数(あるいは角速度)と呼ばれ周波数f(単位は本来無次元ですが便宜上[Hz](ヘルツ)の単位を使っています。）ω[rad/s]=2πf、f[Hz]=ω/(2π)の関係にあります。sin(nωt)のtが0[s]からT[s]経過後にはじめて同位相になったとするとnωT=2π[rad], T=2π/(nω)[s]となります。n=1の時のT=2π/ω=1/f [s]を基本周期、fを基本周波数（単位は[Hz]）と言います。

>時間関数を積分するのに一周期を2π[rad]とするのはおかしくないですか？
位相と周期を間違えていませんか？
積分する変数はtでtの単位は[s]です。角周波数ω=2πf=2π/Tを忘れていませんか？
ωt[rad}=t*2π/T=2π*(t/T)の関係にあるから1周期の積分では
t=T [s]なので sinωt（ あるいはsin(nωt) ）の位相ωt=ωT=2π [rad] (nωt=2πn [rad])となります。
見かけ上、表にωが出てこない　sin(t)やsin(nt)ではω=1 [rad/s]が隠れていますので
時間変数tについて積分範囲を0～2π[rad]とするのではなく。位相ωt [rad]=t[rad](ω=1 [rad/s]の場合)に付いて積分していることになります。

>T=2πだからと話を進めているHPや、横軸に『t[s]』と書いてあるのにメモリを見るとπ/2やπといった値が振ってあるHPもあります。
各周波数ω=2π/T [rad/s]の存在を忘れていませんか？見かけ上、ωが表に出ていませんので
T=2π[s]=2π/ω　から ω=1[rad/s]が表に出ていないと考えれば良いでしょう。
t[s]=2π/(nω)などの関係からω=1 [rad]の場合　t=2π/n [s]となります。
見かけ上 tとして t=2π/n (nは自然数で無次元）が出てきますので,
周期関数f(t)やそのフーリエ級数展開の横軸のt軸をπの定数倍で目盛ることがありえます。各周波数ωの存在が影に隠れていることを忘れないようにして下さい。
そうすれば横軸がπの整数倍で目盛られていても納得がいくでしょう。

回答No.1

muturajcp

an=2/T*∫f(t)sin(nωt)dt(-π≦t≦π)
bn=2/T*∫f(t)sin(nωt)dt(-π≦t≦π)
は誤りです。正しくは
an=(2/T)*∫f(t)cos(nωt)dt(-π/ω≦t≦π/ω)
bn=(2/T)*∫f(t)sin(nωt)dt(-π/ω≦t≦π/ω)
T=2π/ω
です。

補足

ということはWikipediaの記述や、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0

http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-2-2Fourierkyusu.htm

といったHPが間違っているということでしょうか？