三角波のフーリエ級数展開

質問

f(t)=t (-Π<t<Π)の周期関数をフーリエ級数展開するさい、
cosntの係数anを求めるときに、an=1/Π∫(-Π→Π)tcosntdt に部分積分の定理を用いて、
an=1/(nΠ){Π(sinnΠ-sinnΠ)+∫(-Π→Π)sinntdt}と教科書に載っています。
自分で計算したら、tsinnt-∫(-Π→Π)sinntdtとなりました。
教科書のように計算する方法を教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>an=1/Π∫(-Π→Π)tcosntdt
被積分関数 t cos(nt)は奇関数なので、対称区間[-π,π]での積分は0になるので、部分積分などする必要ないですね。
an=0 (n=0,1,2,3, ... ）
bn(n=1,2,3, ... )の方の積分は被積分関数が偶関数なので
bn=(1/π)∫[-π,π] t sin(nt)dt
=(2/π)∫[0,π] t sin(nt)dt
∫ t sin(nt)dt=sin(nt)/n^2 -t cos(nt)/n なので
bn=(2/π)(-π cos(nπ)/n)=-(2/n)(-1)^n
={(-1)^(n+1)} 2/n

フーリエ級数展開は
f(x)=t (-π<t<π)
=Σ(n=1,∞) bn sin(nt)
=Σ(n=1,∞) {(-1)^(n+1)} (2/n)sin(nt)

お礼

計算ありがとうございます。