三角形の形状決定、わかりません!!

質問

三角形ABCにおいて、頂角∠A,∠B,∠Cの大きさをそれぞれA、B、C、とし、辺BC、辺CA、辺ABの長さをa,b,cとする。次の等式が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か求めよ。

(1)sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)

(2)a/(cosA)=b/(cosB)

(3)acosB-bcosA=c

どれかひとつでも答えられるかた、ぜひ回答をください(ノД`)
お願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

余弦定理を持ち出すと、計算が面倒になる場合が多い。猪突猛進は賢者のすることではない。
正弦定理と　和と積の公式　を使って簡単にやろう。

正弦定理より、外接円の半径をＲとすると、a＝2Ｒ*sinＡ、b＝2Ｒ*sinＢ、c＝2Ｒ*sinＣ‥‥(※)

(2)a/(cosA)=b/(cosB)

分母を払うと両辺は正から2乗して、(cosA)＾2=1-(sinＡ)＾2、(cosB)＾2＝1-(sinＢ)＾2　を代入すると
sinＡ＞0、sinＢ＞0から　sinＡ＝sinＢ。→　sin(Ａ-Ｂ)/2*cos(Ａ＋Ｂ)/2＝0。　
よって、Ａ-Ｂ＝0、or、Ａ＋Ｂ＝π　だが　Ａ＋Ｂ＝π　は不適から、Ａ＝Ｂ。

(3)acosB-bcosA=c

(※)を代入すると、sin(Ａ-Ｂ)＝sinＣ＝sin{π-(Ａ＋Ｂ)}　差を積にすると　cos(π-2Ｂ)/2*sin(2Ａ-π)/2＝0　→　2Ａ-π＝0　、or、π-2Ｂ＝πだが　π-2Ｂ＝πは不適から、Ａ＝π/2。

(1)sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)
これが一番、計算が面倒。

sinC＝sin(A＋B)、cosA+cosB＝2cos(Ａ＋Ｂ)/2*cos(Ａ-Ｂ)/2。sinA+sinB＝2sin(A＋B)/2*cos2sin(A-B)/2。
簡単のために、Ａ＋Ｂ＝2α、Ａ-Ｂ＝2β　とすると、2sin2α*cosα*cosβ＝2sinα*cosβ＝4sinα*cos＾2α*cosβ。
よって、cosβ＝0、sinα＝0、cos＾2α＝1/2　→　cosα＝±1/√2　
これは、Ａ-Ｂ＝π、　Ａ＋Ｂ＝0、Ａ＋Ｂ＝π/2、Ａ＋Ｂ＝3π/2　だが　適するのは　Ａ＋Ｂ＝π/2＝Ｃ　のみ。

設問(1)の計算は、チェックしてね。計算ミスをやってそうだから。。。。。ｗ

回答No.4

mister_moonlight

(2)については、以下のように訂正。

(2)a/(cosA)=b/(cosB)

(※)を使うと、　sinＡ*cosＢ-sinＢ*cosＡ　→　sin(Ａ-Ｂ)＝0。　
よって、Ａ-Ｂ＝0、π　だが、Ａ-Ｂ＝π　は不適から、Ａ＝Ｂ。

回答No.2

ferien

三角形ABCにおいて、頂角∠A,∠B,∠Cの大きさをそれぞれA、B、C、とし、辺BC、辺CA、辺ABの長さをa,b,cとする。次の等式が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か求めよ。

(1)sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)

(2)a/(cosA)=b/(cosB)

(3)acosB-bcosA=c

正弦定理や余弦定理を使います。

（１）ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2　角Ｃ＝９０度の直角三角形

（２）ａ＝ｂの二等辺三角形

（３）ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2　角Ａ＝９０度の直角三角形

回答No.1

digitalian

三角形の種類なんて

・正三角形
・二等辺三角形
・直角三角形
・それ以外

のどれかなんだから、逆に考えれば答えは出ます。