三角形におけるあまり知られていない関係式、京大入試より

質問

三角形ABCにおいて、辺の長さ、角度、面積、外接円の半径、内接円の半径などにおいて、基本となる関係式は、

三角不等式
内角の和は１８０度
面積の公式
正弦定理
余弦定理

などだと思います。
ところで、2005年の京大入試などによると、
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho05/kyoto/koki/sugaku_bun/mon3.html

三角形ABCにおいて、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、
cosA+cosB+cosC=1+r/R、
1<cosA+cosB+cosC≦3/2
が成り立つようです。これはあまり知られていないと思います。

このことの証明や、それが書かれたサイト、また、
cosA*cosB*cosC、
sinA+sinB+sinC、
sinA*sinB*sinC、
において、成り立つ関係式や不等式の事実があれば教えていただけないでしょうか。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

＞が成り立つようです。これはあまり知られていないと思います。

これは入試問題としては頻出問題です。

貴方が書かれている、cosA*cosB*cosC、sinA+sinB+sinC、sinA*sinB*sinCについては自分で解いてみたらどうですか。
2変数の問題ですから大したことはないと思います。
但し、sinA+sinB+sinCについては凸関数に関する絶対不等式を使ったほうが簡単です。
又、鋭角三角形については、tanＡ＋tanＢ＋tanＣの最小値、tanＡ*tanＢ*tanＣの最小値も比較的有名でしょう。
又、ちょっと難しいですが、tanＡtanＢ＋tanＢtanＣ＋tanＣtanＡの最小値も求められます。

いずれにしても、自分で挑戦してください。
やりがいのある問題ですから。

お礼

ありがとうございました。