三角関数の問題がわからないんですけど

質問

三角形ABCにおいて、内角∠CAB,∠ABC,∠BCAをそれぞれA,B,Cとし変BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとするとき(a+c)sinB/2=bcos(A-C)/2が成立するのを証明せよ。Kは半径のことという問題で
(a+c)×sinB/2=2K×(sinA+sinC)×sinB/2
→　　=4Ksin(A+C)/2×cos(A-C)/2×sinB/2
　この式で何故→のような式に変形できるのでしょうか？教えて下さい。

回答No.2

pyon1956

和を積に変換する公式
sinA+sinC=2sin((A+C)/2)cos((A=C)/2)
を使っているのです。
この公式は加法定理
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβとsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβで、α+β=A , α-β=Cとおいたとき、
α=(A+C)/2 , β=(A=C)/2
これを代入したこの二つの加法定理の式を足すと出てきます。
（他にsinA-sinB,cosA+cosB,cosA-cosBの変換公式があります。必ずしも覚える必要はないと思いますが。なお、通常この場合の半径はRで表現されます、高校の数学２の教科書では。）

回答No.1

kony0

α=(A+C)/2, β=(A-C)/2とおいて、
sinA+sinC=sin(α+β)+sin(α-β)
と置き換えてみてください。