数学・sinθ・cosθについてです

質問

cosA:cosB:cosC=sinA:sinB:sinCの時、三角形ABCはどのような形といえるのでしょうか。自分では分からなかったので、ご存知の方、ご教授いただけるとありがたいです…

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

cosA:cosB:cosC=sinA:sinB:sinC ⇒　sinA/cosA=sinB/cosB=sinC/cosC

⇒　tanA=tanB=tanC　　　　（1）

三角形の内閣としてのA,B,Cは

0<A,B,C<180°　　　　　　　(2)

A+B+C=180° (3)

という条件を満たさなければならない。

もし一つの角度が90°を超えるとそのtanは負となり他の２角はいずれも90°より小さいのでtanはせいである。このことから（1）を満たすためにはどの角も90°より小さい必要がある。
よって

0<A,B,C<90°　　　(4)

となり(1),(3),(4)を満たすA,B,Cは

A=B=C=60°

となり、三角形ABCは正三角形である。

お礼

tanを使うのは思いつきませんでした。教えていただき、ありがとうございました。