三角形の形状決定について

質問

△ＡＢＣにおいて、頂角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの大きさをそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとし、辺ＢＣ、辺ＣＡ、辺ＡＢの長さをa、b、cとする
次の等式が成り立つとき、この三角形はどのような三角形かを求めよ
(い)sinＣ＝(sinＡ+sinＢ)/(cosA+cosＢ)

(ろ)a/cosＡ＝b/cosＢ

(は)a cosＢ-b cosＡ＝c

まずなにをするのかが分かりません
解説お願いします

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

余弦定理を持ち出すと、辺の関係になって計算が面倒になる。
正弦定理なら、角度の問題になるから計算が比較的簡単になる。簡単なものからやろう。

正弦定理より、外接円の半径をＲとすると、a＝2Ｒ*sinＡ、b＝2Ｒ*sinＢ、c＝2Ｒ*sinＣ‥‥(※)

(2)a/(cosA)=b/(cosB)

(※)を使うと、　sinＡ*cosＢ-sinＢ*cosＡ　→　sin(Ａ-Ｂ)＝0。　
よって、Ａ-Ｂ＝0、π　だが、Ａ-Ｂ＝π　は不適から、Ａ＝Ｂ。

(3)acosB-bcosA=c

(※)を代入すると、sin(Ａ-Ｂ)＝sinＣ＝sin{π-(Ａ＋Ｂ)}　差を積にすると　cos(π-2Ｂ)/2*sin(2Ａ-π)/2＝0　→　2Ａ-π＝0　、or、π-2Ｂ＝πだが　π-2Ｂ＝πは不適から、Ａ＝π/2。

(1)sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)
これが一番、計算が面倒。

sinC＝sin(A＋B)、cosA+cosB＝2cos(Ａ＋Ｂ)/2*cos(Ａ-Ｂ)/2。sinA+sinB＝2sin(A＋B)/2*cos2sin(A-B)/2。
簡単のために、Ａ＋Ｂ＝2α、Ａ-Ｂ＝2β　とすると、2sin2α*cosα*cosβ＝2sinα*cosβ＝4sinα*cos＾2α*cosβ。
よって、cosβ＝0、sinα＝0、cos＾2α＝1/2　→　cosα＝±1/√2　
これは、Ａ-Ｂ＝π、　Ａ＋Ｂ＝0、Ａ＋Ｂ＝π/2、Ａ＋Ｂ＝3π/2　だが　適するのは　Ａ＋Ｂ＝π/2＝Ｃ　のみ。

設問(1)の計算は、チェックしてね。計算ミスをやってそうだから。。。。。ｗ

お礼

(※)を使うと、　sinＡ*cosＢ-sinＢ*cosＡ　→　sin(Ａ-Ｂ)＝0。　
よって、Ａ-Ｂ＝0、π　だが、Ａ-Ｂ＝π　は不適から、Ａ＝Ｂ。

これなにがどうなってるんですか？

回答No.4

mister_moonlight

＞sinＡ*cosＢ-sinＢ*cosＡにはなんの加法定理を使ったのでしょうか？

落ち着いてよく考えろ。

君自身が、
＞sin (α-β) = sin α cos β - cos α sin β,ですよね

って、言ってるだろう。

お礼

入れ替えてもいいんですね

＞sinC＝sin(A＋B)、cosA+cosB＝2cos(Ａ＋Ｂ)/2*cos(Ａ-Ｂ)/2
はどうしてこうなったのでしょうか？

補足

書き忘れです
何度も質問してすみません…回答ありがとうございます

回答No.3

mister_moonlight

＞これなにがどうなってるんですか？

加法定理を使ってるだけ。

お礼

sinの加法定理は
sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β,
sin (α-β) = sin α cos β - cos α sin β,
ですよね

sinＡ*cosＢ-sinＢ*cosＡにはなんの加法定理を使ったのでしょうか？

回答No.2

info22_

（ろ）だけ

正弦定理より
a:b=sinA:sinBなので
sinA/cosA=sinB/cosB
tanA=tanB
∴△ABCは∠A＝∠B（a=b)の二等辺三角形

お礼

ありがとうございます！