図形と計量

質問

△ABCにおいて、辺BC,CA,ABの長さをそれぞれa,b,cとする。

(1)cos^2A=cos^2B-sin^2Cのとき、∠Aの大きさを求めよ。

(2)b cosA=a cosBかつC=70°のとき、∠Aの大きさを求めよ。

なにからしていいのかも分かりません。教えてください(´；ω；`)

回答No.4

watecolor1969 · ベストアンサー

乗りかかった船なので一応
解答例をアップしておきます。

(1)
余弦定理より
cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) …(1)
また、正弦定理より
a/sinA = b/sinB = c/sinC = k
とすると
a=k・sinA 　
b=k・sinB
c=k・sinC
なので、これらを(1)式に代入すると
cosA
={(k・sinB)^2 +(k・sinC)^2 - (k・sinA)^2}/{2・(k・sinB)・(k・sinC)}
=(sin^2B + sin^2C - sin^2A)/(2・sinB・sinC) …(1')

ここで、条件より
cos^2A
= cos^2B - sin^2C
= 1 - (sin^2B + sin^2C)
∴sin^2B + sin^2C = 1 - cos^2A …(2)

(2)を(1')に代入して

cosA
= (1 - cos^2A - sin^2A)/(2・sinB・sinC)
= (1 - 1)/(2・sinB・sinC)　
= 0

∴∠A = 90°(=π/2)

___________________________________________________________________________
(2)
△ABCにおいて
b・cosA + a・cosB = c …(2.1)
である。
　　ここで、条件b・cosA = a・cosB と(2.1)式より
2・b・cosA = 2・a・cosB = c
∴ b・cosA = a・cosB = c/2
　　ここで辺ABの中点をDとすると、
　　二辺とその挟むが同じなので△CAD≡△CBD。
　　従って△ABCは a = b の二等辺三角形である。

∴∠A = ∠B = (180°- ∠C)/2 = (180°- 70°)/2 = 55°

(2別解)
余弦定理より
　　cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) …(1)　　
　　cosB = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac) …(2)

ここで、条件 b・cosA = a・cosB に(1),(2)を代入すると

　　b・(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) = a・(a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)

　　∴ a = b 　

　　従って△ABCは a = b の二等辺三角形である。

　　∴∠A = ∠B = (180°- ∠C)/2 = (180°- 70°)/2 = 55°

回答No.3

watecolor1969

(2)のヒントを出しておきます。

b・cosA + a・cosB = c

という事実を使うと良いと思います。

回答No.2

watecolor1969

(1)は∠Aを求めたいので、

∠Aについての余弦定理を適用して
cos∠A＝　　　　　・・・（1）
の形にする。

次に、正弦定理の2Rをkとでもおいて
a,b,c,を、kとsinA,sinB,sinCで表す。

その式を(1)に代入し、
cos^2A=cos^2B-sin^2Cを少し変形すると
見えてくのではないでしょうか？

(２)は少し自分で考えてみてください。