三角関数で分からないのがあるので教えてください。

質問

△ABCにおいて、辺BC、CA、ABの長さを、それぞれa、ｂ、ｃで表し、∠A、∠B、∠Cの大きさを、それぞれA、B、Cで表す。
sinA:sinB:sinC=7:8:3が成立しているとき、
(１)cosA、cosB、cosCの値の中で、最大値を求めてください。またその時の、正接の値を求めてください。
(2)sinA、sinB、sinCの値の中で、最大値を求めてください。
(3)b=4とします。∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をPとするとき、線分APの長さを求めてください。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
>△ABCにおいて、辺BC、CA、ABの長さを、それぞれa、ｂ、ｃで表し、
>∠A、∠B、∠Cの大きさを、それぞれA、B、Cで表す。
>sinA:sinB:sinC=7:8:3が成立しているとき、

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R より
sinA=a/(2R), sinB=b/(2R), sinC=c/(2R)であるから
　a:b:c=7:8:3 ...(※)
最小辺はcなので、角A,B,Cの内、最小な角は角Cであることが判る。
余弦(cos)の最大なものは,最小角CのcosCであるから
　a=7t, b=8t, c=3t(t>0) とおくと、余弦定理より
　cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(49+64-9)/(2*7*8)=13/14　←（答え）
　sinC=√(1-(cosC)^2)=√(1-(13/14)^2)=3√(3)/14
正接は
　tanC=sinC/cosC=3√(3)/13　←（答え）

(2)
(※)より sinA:sinB:sinC=7:8:3 であるから
最大の正弦(sin)はsinBである。
　sinB=(8/3)sinC=(8/3)*3√(3)/14=4√(3)/7

(3) b=AC=4のとき(※)より　a=7/2, c=3/2
角の2等分線定理より
BP:PC=AB:AC=c:b=3:8 ∴BP=BC*3/11=3a/11
余弦定理より
cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC)=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)=(9+49-64)/(2*3*7)=-1/7
AP^2=AB^2+BP^2-2AB*BPcosB=c^2+(3/11)^2*a^2-2c*(3a/11)*(-1/7)
=(9/4)+(9/121)*(49/4)+2(3/2)(3/11)(7/2)(1/7)
=432/121
∴AP=(12/11)√3

お礼

ありがとうございました。
本当に助かりました。