軌跡(円と直線)の問題

質問

傾きが√3で円C：x^2+y^2=1と二つの共有点をもちその線分の長さが
√2であるような直線を求めよ。という問題です。
途中の問題がありましたがこの部分がわからなかったので
ほかは割愛しました。足りない条件があったらすいません・・・

あと・・・x^2+y^2-2tx-2(1-t)y=0がある。
tが実数全体を動くときのこの円の中心の軌跡とこの円の通りえない円全体の集合を
求めよという問題です。わかりやすくよろしくお願いします。

回答No.1

zzzzzz · ベストアンサー

[問１・答１]
２つの交点は傾き√3の直線上にあるので、x座標が異なることに注意します。
このx座標の差は、２点間の距離が√2であることより、
√2 * 1 / √{1^2+(√3)^2} = 1/√2
と計算できます。(x座標の差が1/√2であることと、線分の長さに関する条件が同値であることに注意)
求める直線の式をy=√3x+cとおくと、交点の座標に関して
x^2+y^2=1
y=√3x+c
が成り立ちますので、代入して整理すると
4x^2 + 2c√3x + c^2-1 = 0
x^2 + (c√3/2)x + (c^2-1)/4 = 0
が分かります。
この方程式が２つの実数解を持ち、その差が1/√2であればいいのですから、
(解の和)^2 - 4*(解の積) = (1/√2)^2 = 1/2
が成り立てばＯＫです。解と係数の関係より、この式は
(-c√3/2)^2 - (c^2-1) = 1/2
となります。整理してc^2=2、つまりc=±√2を得ます。
従って、求める方程式はy=√3x±√2となります。

[問１・答２]
円の中心から、求める直線に下ろした垂線の長さを計算します。
２つの交点と円の中心、を頂点とする三角形は、各辺の長さが1,1,√2であることが分かっているので、
この垂線の長さは簡単に計算できて、1/√2となります。
また、この垂線は求める直線と直交しますので、傾きは-1/(√3) = -1/√3となります。
この直線上の点で、原点からの距離が1/√2であるものの座標は、
x^2+y^2 = (1/√2)^2 = 1/2
y = -(1/√3)x
を連立して解けば求まり、結果は(√6/4, -√2/4), (-√6/4, √2/4)となります。
後は、y=√3x+cがこれらの点を通る時のcをそれぞれの点について計算すればよく、c=±√2よりy=√3x±√2が答えとなります。

[問２・答１]
まず、tを定数と見なしてx^2+y^2-2tx-2(1-t)y=0の中心の座標を求めます。
式変形により
(x-t)^2 + {y-(1-t)}^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2-2t+1
となりますので、中心の座標は(t, 1-t)です。
tを動かした場合の中心の軌跡は、(x,y) = (t, 1-t)をパラメータ表示と思えば
x=t, y=1-tより、y=1-xとなります。
この円の通り得ない点、は次のように考えます。
「この円が通過する点」＝「あるtに関してこの円上にある点」＝「あるtに関してこの方程式が成り立つような座標(x,y)を持つ点」
こう考えた場合、
「ある点(x,y)がこの円の通過する領域上にある」＝「(x,yを定数と考えて)この式が成り立つようなtが存在する」
ということが分かります。
つまり、x,yを定数と見て、この式をtに関する方程式と見なし、この方程式が解を持つようなx,yの範囲を求めれば良いわけです。
tについて式を整理すると、
2(y-x)t + (x^2+y^2-2y) = 0
となります。従って、x≠yの時にはこの式は明らかに解を持ちます。
x=yの時にはx^2+y^2-2y=0であることが必要十分です(この時にはtの解は任意、ということになります)。
今、x=yの場合を考えていますから、これは2x^2-2x=0、つまり、x=0,1と同値です。
まとめれば、点(x,y)が軌跡に含まれることと、x≠yまたはx=0またはx=1を満たすことは同値である、ということになります。
求めるのは軌跡に含まれない点ですから、この否定を考えて
{(x,x)|但しx≠0かつx≠1}
が求める集合になります。

お礼

[問１・答２]がわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.2

good777

1.円に内接する正方形の１辺が√2だから
正方形を６０°回転するとｘ切片が　+-√2/√3だから
ｙ＝√3（ｘ+-√2/√3）＝√3ｘ+-√2

2.
いつも（0，0）と（1，1）を通る，中心がｙ＝-ｘ+1
上の円をいくつか描いてみるとこの円が通らない点が分かるよ。

円の中心の軌跡
ｙ＝-ｘ+1
円の通りえない点全体の集合
（（ｘ，ｙ）|　ｙ＝ｘ，ただし，（0，0）と（1，1）を除く）

お礼

ありがとうございました