高校の問題です

質問

数学の問題でわからないところがあります。回答がないので、途中式もわからず困っています。どうか教えてください。

問題。 座標平面上に、円Ｋ：x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0と三点A(2,3),B(-4,0),C(2,0)がある。ただし、tは実数とする。また、△ABCの周および内部の領域をＤとする。
(1)円Ｋの中心と半径を求めよ。また、円Ｋの中心の軌跡の方程式を求めよ。

(2)円Ｋと領域Ｄが共通点を持つようなtの値の範囲を求めよ。

(3)tが(２)の範囲を動くとき、円Ｋが通過する領域をＥとする。点(x,y)が領域Ｅ上を動くとき、x-2yの最大値を求めよ。

良ければよろしくお願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
円Ｋ：x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0 ...(A)
標準形になおすと
　(x-t)^2+(y+2t)^2=1 ...(B)

円の中心は(t,-2t), 半径は 1
円の中心(x,y)=(t,-2t)
　x=t, y=-2t
tは実数の範囲を動くからxも実数の範囲を動く。
円Ｋの中心の軌跡の方程式はtを消去して
　y=-2x ...(C)

(2)
領域Dは添付図の△ABCの内部及び周となる。
円Ｋと領域Ｄが共通点を持つようなtの上限
(B)がx軸の下側から接するとき
　-2t=-1 ∴t=1/2 ...(D)

円Ｋと領域Ｄが共通点を持つようなtの下限
(B)が辺AB:x-2y+4=0の上側から接するとき
　-(t+4t+4)/√5=1 ∴t=-(√5+4)/5 ...(E)

従って円Ｋと領域Ｄが共通点を持つようなtの範囲は
(D)、(E)から
　-(√5+4)/5≦t≦1/2 ...(F)

(3)
領域Eは添付図の緑の領域のようになる。
点(x,y)が領域Ｅ上を動くとき
　x-2y=a ...(G) とおくと
aが最大となるときは、(G)を書き直した　y=(x-a)/2 ...(H)
　この(H)が添付図の接点Uを通るときで、接点Uの座標は
半径1で中心M(1/2,-1)の円:(x-(1/2))^2+(y+1)^2=1 ...(H)
　と(C)との交点として U((1/2)+(1/√5),-1-(2/√5)) ...(I)
　が求まる。
Uの座標を(G)に代入すると x-2yの最大値
　a=(5/2)+√5
が求まる。

回答No.1

yyssaa

(1)円Ｋの中心と半径を求めよ。また、円Ｋの中心の軌跡の方程式を求めよ。
＞x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=(x-t)^2-t^2+(y+2t)^2-4t^2+5t^2-1=0
から、(x-t)^2+(y+2t)^2=1、よって
円Ｋの中心：(t,-2t)、半径：1・・・答
円Ｋの中心の軌跡の方程式：y=-2x・・・答
(2)円Ｋと領域Ｄが共通点を持つようなtの値の範囲を求めよ。
＞円Ｋと領域Ｄが共通点を持つのは、中心がy=-2x上にある半径1の
円kが領域Dと共通点を持つ場合であるので、tの値の範囲は、円kが
直線BC(x軸)に接するときのtの値と、円kが直線ABに接するときのt
の値の間となる。
(ア)直線BC(x軸)に接するときのtの値は、x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0
とy=0が重根を持つ場合のtなので、x^2-2tx+5t^2-1=0の根の判別式
4t^2-4(5t^2-1)=-16t^2+4=0からt^2=1/4、t=±1/2、このうち円kが
x軸の下側にあるときのtはt=1/2・・・(ア)
(イ)同様に直線ACの方程式はy=(1/2)x+2なので、y=(1/2)x+2を
x^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0に代入して5x^2+8x+12+32t+20t^2=0
判別式=0から25t^2+40t+11=0を解いてt={-40±√(1600-100*11)}/50
=(-40±√500)/50=(-40±10√5)/50=(-4±√5)/5、このうち円kが
直線ACの上側にあるときのtはt=(-4-√5)/5・・・(イ)
(ア)(イ)より(-4-√5)/5≦t≦1/2・・・答
(3)tが(２)の範囲を動くとき、円Ｋが通過する領域をＥとする。点(x,y)が領域Ｅ上を動くとき、x-2yの最大値を求めよ。
＞x-2y=αとおくと、y=(1/2)x-α/2、よってαが最大になるのは
直線y=(1/2)x-α/2が領域Ｅを通過する範囲内で最も下がったとき
(y切片が最小になったとき)であり、それは円kがx軸に下側から
接しているとき(t=1/2のとき)に円kと直線y=(1/2)x-α/2とが接する
ときである。よってx^2+y^2-2tx+4ty+5t^2-1=0にt=1/2を代入して
x^2+y^2-x+2y+1/4=0、これにy=(1/2)x-α/2を代入、整理して
5x^2-2αx+α^2-4α+1=0、この判別式=0から4α^2-20(α^2-4α+1)=0
4α^2-20α+5=0、これを解いてα={20±√(400-16*5)}/8
=(20±√320)/8=(20±8√5)/8=(5±2√5)/2、このうち直線が円k
に下側から接するのはα=(5+2√5)/2のとき。よって
x-2yの最大値は(5+2√5)/2・・・答