領域の問題

質問

『a、tを実数とするとき、座標平面において、x^2+y^2-4-t(2x+2y-a)=0
で定義される図形Cを考える。
(1)すべてのtに対してCが円であるようなaの値の範囲を求めよ。
(2)a=4とする。tがt>0の範囲を動くとき、Cが通過してできる領域を求め図示せよ。
(3)a=6とする。tがt>0であって、かつCが円であるような範囲を動くとき、Cが通過してできる領域を求め、図示せよ。』
(1)-4√2<a<4√2と出せましたが、(2)(3)は全くわかりません。
お助けお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

皆さんの重複しますがちょっと補足させて頂きます。
（２）
（ｉ）　２ｘ＋２ｙ－４≠０のとき、
ｔ＝（ｘ^2＋ｙ^2－４）／（２ｘ＋２ｙ－４）＞０　・・・（＊）
より、中心が原点で半径２の円の内部（円周上含まず）をＤと呼ぶと、
Ｄの内部で、かつ、ｙ＜－ｘ＋２　（＊の分母分子共に負）　
Ｄの外部で、かつ、ｙ＞－２＋ｘ　（＊の分母分子共に正）
の２つの領域になります。ｙ＝－ｘ＋２の上の領域とＤの内部のＯＲで、かつ、重なった部分を除いた領域ですね。

（ii）　２ｘ＋２ｙ－４＝０のとき、
元の式にｙ＝２－ｘを代入すると、
２ｘ^2－４ｘ＝０
を得ます。これより、任意のｔで、Ｃは点（０，２）と点（２，０）の２点をＣは通ることが分ります。この２点は、原点中心の半径２の円と、直線ｘ＋ｙ－２＝０の交点で、（ｉ）だとｔ＝０／０と不定形になってしまうケースです。

（ｉ），（ｉｉ）をまとめて図示すれば、（２）は完成ですね。

（ｉ）のようにｔ＝～としてｔ＞０の条件から求めるのに気付けば楽ですけど、気付かなかったらどうします？試験の最中焦って気付かない・・・。
図形を－４５度回転させ、ｘ軸上を円の中心が動くようにしてやって円の動く領域を求め、求めた領域を＋４５度回転させて元の座標に戻してやると、力ずくでも少し楽に解けます。慣れれば時間もかからない・・・かな？

（３）
同じように解けるでしょう。ｔ＞０で円になる条件から、０＜ｔ＜１とｔ＞２が出ますね。（２）と同様に、
ｔ＝（ｘ^2＋ｙ^2－４）／（２ｘ＋２ｙ－６）
ｔ＞０はいいとして、
ｔ＜１　⇔　（ｘ^2＋ｙ^2－４）／（２ｘ＋２ｙ－６）－１＜０
　｛（ｘ－１）^2 ＋（ｙ－１）^2 }／（２ｘ＋２ｙ－６）＜０
より、点（１，１）を除く・・・という話が出てきます。

がんばって。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。
ｔ=に直すことに気づくべきだったのですね。
試験では本当に焦って何もできないかもしれませんが
何かできるように今のうちにいろいろな問題になれておきたいと思います。本当にわかりやすかったです。

回答No.4

kumipapa

ごめんなさい。誤記訂正。
（２）（ｉ）の５行目

誤）Ｄの外部で、かつ、ｙ＞－２＋ｘ　（＊の分母分子共に正）
正）Ｄの外部で、かつ、ｙ＞－ｘ＋２　（＊の分母分子共に正）

回答No.2

take_5

（2）a=4としてtについて整理すると、
t（4-2x-2y）＝4-x＾2-y＾2より、4-2x-2y＝0とすると不適から、t＝（4-x＾2-y＾2）／（4-2x-2y）となる。‥‥(1)
t>0より(1)から、（4-x＾2-y＾2）／（4-2x-2y）＞0.
（3）a=6のときは、与えられた方程式は、（x-t）＾2＋（y-t）＾2＝４－６t－２t＾2。これが円を表すから、半径＞0により４－６t－２t＾2＞0。これを解くと　t>0でもありt＞2、or、1＞t＞0.‥‥(2)
又、tについて揃えるとt＝（6-x＾2-y＾2）／（4-2x-2y）となる。‥‥(3)であるから(3)を(2)に代入するだけ。

＃直線束に関わる問題なので、それを使っての解法があるかもしれない。

お礼

ありがとうございます。
丁寧な説明助かりました。

回答No.1

info22

(2)次の(A)および(B)をあわせた領域
(A)(x^2+y^2-4)(x+y-2)>0の領域で境界は含まず
(「円x^2+y^2=4の内部または直線y=2-xの上部」の領域から「円x^2+y^2=4の内部（境界を含む）かつ直線y＞2-xの上部（境界を含む）」の領域を除外した領域になる。）
(B)二点(2,0)および(0,2)

(3)円x^2+y^2=4の内部（境界は除く）から点(1,1)を除く領域

お礼

ありがとうございます。
因数分解の形は思いつきませんでした。