軌跡の問題

質問

ｔが実数全体を動く時この円の円周のとおりえない点全体の集合を求めよ。

円；x^2+y^2-2tx-2(1-t)y=0は
2(x-y)t=x^2+y^2-2yと変形できます。

解答によると、求める条件は
「x-y=0,x^2+y^2-2 not= 0」
となるのですが、どうやってこの条件が導けるのでしょうか？
左辺は０になるのに右辺は０にならない、というのがちょっとよくわかりません・・。

よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

stripeさん、こんにちわ
　2(x-y)t = x^2+y^2-2y
の両辺がそれぞれ0のときと0でない時に分けると良いと思われます。
(1) x-y≠0, x^2+y^2-2y≠0 のとき
　t = (x^2+y^2-2y)/2(x-y)
　とすれば上の式を満たせる
(2) x-y≠0, x^2+y^2-2y=0 のとき
　t = 0
　とすれば上の式を満たせる
(3) x-y=0, x^2+y^2-2y=0 のとき
　t はどんな値であっても上の式を満たせる
(4) x-y=0, x^2+y^2-2y≠0 のとき
　t はどんな値であっても上の式を満たせない
したがって(4)の条件がtが実数全体を動く時に(x,y)がとりえない値の範囲になります。

お礼

そうやって、場合わけして考えると、よくわかります！

参考にさせていただきます。
どうもありがとうございました！

回答No.3

oruka

おはようございます。

stripeさんの言葉をそのまま引用すれば、

どんなｔをとっても
「左辺は０になるのに右辺は０にならない」ような(x,y)を選べば、
それはまさに
「ｔが実数全体を動いてもその(x,y)の値はとりえない
（その(x,y)の値はこの円の方程式を満たせない）」
ということになります。

従ってこの
「この円の方程式を満たしえない(x,y)の範囲」こそが
「この円の円周の通りえない点全体」そのものとなるのです。

ここは多くの生徒さんが一瞬とまどうところです。
（とくに日ごろから「自分の頭で完全に納得しよう」と心がけている人こそそういう傾向がありますね）

「ｔが実数全体を動く時の(x,y)の存在範囲（or軌跡）」
を求めるときに
「その条件式をｔについての方程式（ｘやｙはその係数）と捉えて、その方程式が実数解ｔを持つためのｘ、ｙの（＝係数の）条件」
と見ることで解くわけです。

これは普通に問題を解いていて自分で思いつくのは無理がある、やや高度な発想なんですが、
この考え方はとても多くの問題で有効なのです。
この機会にぜひ自分のものにしてくださいね。

お礼

こんにちは。

この問題の考え方はけっこう難しいですよね・・・。
次にでたときは絶対できるようにしたいです。

どうもありがとうございました！

回答No.1

eatern27

解き方のヒントだけ。
tについての方程式、

at=b

が解を持たない条件は何か考えてみましょう。
(答えは、a=0,b≠0)

a=2(x-y)
b=x^2+y^2-2y
とおけば・・・？？

お礼

どうもありがとうございました！