数学の問題

質問

不等式 x^2+y^2+z^2≧tx(y-z)がすべての実数ｘ,ｙ,ｚに対して
成り立つような実数ｔの範囲を求めよ。
という問題なのですが、
解答では
まずｘ,ｙを定数と考えてすべての実数ｚに対して不等式が成り立つ条件を求める。
→不等式をｚについて整理し、それの判別式をDとするとD≦０

となっているのですが、正直 意味がわかりません・・・
説明して頂けないでしょうか・・・

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

＞この場合、すべての実数yについて成り立つという条件はどこに入っているのでしょうか？

Ｄ＝8（t＾2-2）y^2≦0.　従って、この不等式が“すべての実数yについて成立する”から、y^2≧0より　t＾2-2≦0.‥‥(2)　以上、(1)と(2)から、｜t｜≦√2が答え

ついでに答えておくが、別にz→x→yに限らず、x→y→z　としても、y→z→xとして、進めても良い。
その順序は一定ではない、好きな順序で構わない。

お礼

丁寧な回答、ありがとうございます。
文字が増えるとどうしても解けなくて・・・
おかげで理解することができました。
本当にありがとうございます(*・・*)

回答No.2

take_5

例によつて、書き込みミス。。。。。。笑

＞整理すると、（t＾2-4）x＾2＋4txy-4y^2≧0.　これが全ての実数xに対して成立するから、x^2の係数＝（t＾2-4）＞0　‥‥(1)、and、Ｄ≦0.

　　　　　　　　　　　　　↓

整理すると、（4-t＾2）x＾2＋4txy-4y^2≧0.　これが全ての実数xに対して成立するから、x^2の係数＝（4-t＾2）＞0　‥‥(1)、and、Ｄ≦0.

補足

この場合、すべての実数yについて成り立つという条件はどこに入っているのでしょうか？

回答No.1

take_5

例えば、x＝2、y＝1としょう。
そうすると、5＋z^2≧2t(1-z)が全てのの実数ｚに対して不等式が成り立つ条件を求める、という問題はどこかでやった事があるだろう。

この問題はそれの応用である。
つまり、この問題はxやyも定数でなく、変数となる場合。

従って、問題の解説のように“まずｘ,ｙを定数と考えてすべての実数ｚに対して不等式が成り立つ条件を求める。→不等式をｚについて整理し、それの判別式をDとするとD≦０”というようになる。

解答を続けると、
z^2-txz＋（x^2+y^2-txy）≧0が全ての実数ｚに対して成立するから、z^2の係数＝1＞0、and、Ｄ≦0.
整理すると、（t＾2-4）x＾2＋4txy-4y^2≧0.　これが全ての実数xに対して成立するから、x^2の係数＝（t＾2-4）＞0　‥‥(1)、and、Ｄ≦0.
Ｄ＝8（t＾2-2）y^2≦0.　y^2≧0より、t＾2-2≦0.‥‥(2)　以上、(1)と(2)から、｜t｜≦2が答え。

わかり難ければ，次のようにやっても良い。

x^2+y^2+z^2-tx(y-z)＝‥‥‥＝（z+tx/2）＾2＋（y-tx/2）＾2＋（2-t＾2）/2*x^2≧0でなければならない。
ところが、（z+tx/2）＾2≧0、（y-tx/2）＾2≧0、x^2≧0であるから、
（2-t＾2）/2≧0、従って、｜t｜≦2。