座標の問題についてです。

質問

aを正の定数とする。放物線P:y=ax^2上の動点Aが放物線P上のすべての点を動くとき、座標平面上でy＞0の表す領域において、どの円Cの内部にも含まれない点がある。この点の集まりを図示せよ。

答えは(0,1/4a)を中心とする半径1/4aの円内部(境界含み、原点を除く)
ですが、なぜ境界を含むのか分かりません。

A(t,at^2) とすると，Cは
(x-t)^2+(y-at^2)=(at^2)^2
x^2-2tx+t^2+y^2-2at^2y+(at^2)^2=(at^2)^2
(1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2=0
どのCの内部にも含まれない(x,y)は
すべてのtについて，(1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2≧0・・・(1)

(1)の x^2-(1-2ay)(x^2+y^2)という判別式で
虚数解の時は実数tが存在しませんが、重解の時も実数tが存在しないのはなぜでしょう？
(ここで重解となると実数tが存在しないとなるため、答えに境界を含むとなっている訳ですが…)

詳しく教えていただきたいです。
よろしくお願い致します

回答No.2

spring135

円Cの方程式は

(x-t)^2+(y-at^2)^2=(at^2)^2

tについて整理すると

(1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2=0

1)y≠1/2aのとき

(x,y)はtが実数のとき存在しうる、つまりその点を通ることができるが

tが虚数の時通れない。よって

D=x^2-(1-2ay)(x^2+y^2)<0

2ax^2y+2ay^3-y^3<0

a>0なので

y(x^2+y^2-y/2a)<0

y>0の範囲なので

x^2+(y-1/4a)^2<(1/4a)^2

従って

中心(0,1/4a),半径1/4aの円の内部である。

質問者の言うように境界は含まない。境界では実数の重解であるので通ることができる。

2)y=1/2aのとき

x^2-2xt+1/4a^2=0

(x-t)^2=t^2-1/4a^2

x=t±√(t^2-1/4a^2)

xを実数にするtを選ぶことができるので通過する。

回答No.1

spring135

円Cの条件が不明です。どうやら中心がAで半径が中心のy座標の値のようですが

その点を明示してください。

補足

説明不足でした。すみません。
円Cは点Aを中心とし、x軸に接する円です。
よろしくお願いします。