積分の問題です

質問

1.Dを原点の中心、半径εの円板として、線積分∫∂D{(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)}を計算してください。
2.x-y平面内の領域Dは境界∂Dの上に原点がないとする。このとき
∫∂D{(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)}＝０　　（原点がDの外部にある）
　　　　　　　　　　　　　　＝２π（原点がDの内部にある）
を証明してください。

回答No.1

alice_38 · ベストアンサー

z = x+yi (i は虚数単位) と置くと、
∫dz/z = ∫(xdx+ydy)/(x~2+y~2) + i∫(xdy-ydx)/(x~2+y~2)
が成り立ちます。
右辺の虚部が、問題の積分になっていますね。
後は、∫dz/z に留数定理を適用して、
両辺を実部ごと虚部ごとに比較すれば終了。
「留数定理」については、一度
成書にあたってみたほうがよいと思います。

補足

参考書にあたってみたのですが、わかりませんでした・・・