領域の問題

質問

実数ｔが変化する時、直線y=2tx-(t+1)^2がとおりうる点(a,b)の存在範囲を求め、これを図示せよ。

この問題は、どんな方針で解けばよいのでしょうか？
-t^2+2(x-1)-1-y＝0
と、ｔについてといてみたのですが、役にたつでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんばんは。

＞実数ｔが変化する時、直線y=2tx-(t+1)^2がとおりうる点(a,b)の存在範囲を求め、
これを図示せよ

＞この問題は、どんな方針で解けばよいのでしょうか？
-t^2+2(x-1)-1-y＝0
と、ｔについてといてみたのですが、役にたつでしょうか。

役に立ちます！！
いいところに着目していると思います。
tについての２次方程式にしてみたんですね。

t^2+2(1-x)t+(1-y)=0

と簡単にしました。
さて、ここで、tは実数を取りつつ変化していくので、
このtについての２次方程式の判別式をとれば、

D=(1-x)^2-(1-y)≧0

でなければなりませんね。
これは、つまり
(1-x)^2≧(1-y)
y≧-(1-x)^2+1
y≧-(x-1)^2+1

となっていますので、これは頂点(1,1)上に凸の放物線
の上側の部分となります。

従って、(a,b)の存在範囲は、
放物線y=-(x-1)^2+1の上側の領域で、境界を含みます。
もう、ちょっとでしたね！頑張ってください。

回答No.4

fushigichan

＃１fushigichanです。
Umedaさん、訂正ありがとうございます！
stripeさん、大変申し訳ないです！以後、訂正して書き直します。

＞y=2tx-(t+1)^2
展開して
y=2tx-t^2-2t-1
t^2+2t-2tx+y+1=0
t^2+2(1-x)t+(y+1)=0

この式の判別式をDとすると、tは実数をとるので、

D/4=(1-x)^2-(y+1)≧0
(1-x)^2≧(y+1)
y≦(x-1)^2-1

となるので、これは、頂点(1,-1)、下に凸の放物線より下側の部分である。
境界は含みます。

図示する場合は、頂点(1,-1)で上に凸の放物線をまず書いて
y座標がそれよりも下側にくる部分を斜線で塗って、
境界を含む、と書けばOKです。

と訂正させていただきます。
stripeさん、ごめんなさいね！

お礼

ご回答ありがとうございます！！

判別式を使えばよかったんですね～。
言われてみてなるほどって感じです(＾＾；

よくわかりました。
どうもありがとうございましたm(__)m

回答No.3

ONEONE

直線y=2tx-(t+1)^2・・・(1)は点(a,b)通る
⇔
(1)をみたす実数tの値が少なくとも1つ存在する。

です。
例えば
(1,0)を通るか？と考えると(1)に代入してみますよね。
→0=2t-(t+1)^2⇔t^2+1=0→実数tは存在しない→(1,0)を通らない
とわかります。
例えば
(0,0)を通るか？
→0=(t+1)^2→t=-1→(0,0)を通る
とわかります

これを一般的に(x,y)で行えばいいわけで
t^2+2(1-x)t+(1-y)=0
の解が実数ならばよいので判別式≧０という条件がでます。

【別解】
y=2tx-(t+1)^2のｙ座標をg(t)とおくと

g(t)=2tx-(t+1)^2=-{t-(1-x)}^2+(x-1)^2-1　（軸:(1-x),頂点：(x-1)^2-1）
tのとりうる範囲は頂点以下だから
g(t)≦(x-1)^2-1
∴y≦(x-1)^2-1←点(a,b)の存在範囲

お礼

＞これを一般的に(x,y)で行えばいいわけで
t^2+2(1-x)t+(1-y)=0
の解が実数ならばよいので判別式≧０という条件がでます。

ｔが実数っていうのがポイントなんですね。

べっかいもなるほどです。ｔのとりうる範囲は頂点以下ってことですね。

ONEONEさんも受験生なんですよね～ほんとにすごいです・・・。

ありがとうございました～。

回答No.2

Umada

「(a,b)を、直線y=2tx-(t+1)^2が通る」
ということは、
「(a,b)をその直線の式に当てはめた時、その式を満たす実数tが存在する」
ということです。

点(a,b)が直線上の点であるなら
b=2ta-(t+1)^2
を満たしているはずです。(そしてそれに応じた実数tが存在するはずです)
これをtについての方程式と考えると、展開/移項して
t^2+2t+1-2ta+b=0
t^2+2(1-a)t+1+b=0
を得ます。(ですから、stripeさんの解き方はここまで合っています)

もうお気付きかと思いますが、tが実数であるためにはこの2次方程式の判別式Dを考えればよいわけです。
従って
D'=D/4=(1-a)^2-(1+b)
これが非負なら実数解を持つので
(1-a)^2-(1+b)≧0
整理して
(a-1)^2-1≧b
です。もし何となく納まりが悪ければ、a→x、b→yに戻してください。すなわち
(x-1)^2-1≧y
です。

なおNo.1のfushigichanさんのご回答ですが、
-t^2+2(x-1)-1-y＝0
から
t^2+2(1-x)t+(1-y)=0
の変形のところでyの符号をうっかりされたかと思います。このため最後が「頂点が(1,1)で上に凸の放物線」になったものと推測いたします。

正しい答えは「頂点が(1,-1)で下に凸の放物線の下側の領域」ということになります。もちろん、境界は含まれます。

考え方は合っているはずですが、細かい計算ミスがあるかも知れませんのでstripeさんご自身でも検算しながら読んでいただけると幸いです。

お礼

>tが実数であるためにはこの2次方程式の判別式Dを考えればよいわけです。

そう言われてみてなるほどなぁ～って感じです
似たような問題をやったことがあったのでできたくて残念です。

参考にさせていただきます。
ありがとうございました～。