ベクトル解析 グリーンの定理

質問

『原点中心で半径１の円と原点中心で半径３の２つの円がある。この２つの円で囲まれた領域の境界線をＣとして、∫ｃ（２ｘ－ｙ^3）ｄｘ－ｘｙｄｙについてグリーンの定理の正しいことを示せ。』という問題をといているのですがどうしても分かりません。分かる方がいらしゃいましたら教えてください。お願いします。

回答No.1

torahuzuku · ベストアンサー

今晩は。原点を中心とした半径rの円の座標を極座標を用いて表すと、
　x=rcosθ　∴dx=-rsinθdθ　y=rsinθ　∴dy=rcosθdθ
ここでr=1 のとき
∫c(2x-y^3)dx-xydy=∫[θ；0→2π](2cosθ-sin^3θ)(-sinθdθ)-∫[θ；0→2π](cosθsinθ)cosθdθ
=∫[θ；0→2π](sin^4θ-2sinθcosθ)dθ-∫[θ；0→2π](sinθcos^2θ)dθ
=∫[θ；0→2π](sin^4θ-2sinθ)dsinθ+∫[θ；0→2π]cos^2θdcosθ
=[θ；0→2π][(sin^5θ/5)-sin^2θ]+[θ；0→2π][cos^3θ/3]=0
r=3のときも同様にして与式=0となる。

グリーンの定理より
与式=∬D{∂(-xy)/∂x-∂(2x-y^3)/∂y}dxdy
　　=∬D(-y+3y^2)dxdy　ここで極座標表示に置き換えて
=∫[θ；0→2π]-sinθdθ∫[θ；0→2π](-sinθ+3sin^2θ)cosθdθ
=∫[θ；0→2π]-sinθdθ∫[θ；0→2π](-sinθ+3sin^2θ)dsinθ=0
間違えていたらごめんなさい。全く自信なしです。