数学の問題です。

質問

0<a<1とするとき、次の問いに答えよ。
(1)tを実数とするとき、2点O(0.0)と
P(t.1-a)を結ぶ線分OPをa:(1-a)に内分する点を通り、OPに垂直な直線(1)の方程式を求めよ。

(2)tが実数全体を動くとき、直線(1)が通る点全体の領域を表す不等式を求めよ。

(3)(2)で求めた領域の境界線とx軸とで囲まれた部分の面積をS(a)とおく。aが0<a<1の範囲を動くとき、S(a)の最大値を求めよ。

答え(1)tx+(1-a)y-at*-a(1-a)*=0
(2)y≧-x*/4a(1-a)+a(1-a)
(3)a=1/2で最大値1/6
※at*などの*は2乗という意味で使っています。

答えのみわかっており、
(1)は解けたのですが(2)(3)がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

kittensillabub · ベストアンサー

絵を描いてみるとわかりますが t を動かすと (1)の直線に紐を結び付て振り回している感じです。

(2) (1)の式ですが、xには tが掛けられていますが yには定数のみ。
x =... とすると 1/tがかかって面倒なのでy を tの２次関数にします。

　xを固定したときに、tを動かすと yがどの範囲の値をとるか、
たとえば x=1としたら、y は x=1の縦線のどこかにいます。
どこにいるかは tで決まり、この範囲は xの値で決まります。

　　(1-a)y = at* - tx + a(1-a)* ... (1)の答え

右辺は tの二次関数です。"何とか" の二乗は常に正の数なので、
tを"何とか" の中に入るように変形します。
　※ (1-a)はどうせ定数なので最後まで左辺に置いておきます。
　　実は (1-a)の符号を気にしないといけないのですが、正の値なのでok

　　(1-a)y = at* - tx + a(1-a)*
　　　　　= a(t* - 2(x/2a)t + (x/2a)*) - a(x/2a)* + a(1-a)*
　　　　　= a(t - (x/2a))* - a(x/2a)* + a(1-a)*

　　a(t + (x/2a))* が、0以上の値しかとらないので、右辺は残りの項が最少値
　　aの符号が気になるところなのですが、aは正の値なので ok

　　(1-a)y ≧ - a(x/2a)* + a(1-a)*
　　　　　y ≧ -x*/4a + a(1-a) ... よかった。あってた

(3) は、境界線が(2)の不等式を方程式にしたものなので、逆さの放物線。
　　これが x軸と交わる点の間(*1)を積分してやればいいです。
　　　　(*1) は、0 = -x*/4a + a(1-a) の２つの解

　　あとは公式に当てはめればよいと思います。
　　＃ (2)で疲れたので、あとは頑張って (^_^)b

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

gohtraw

例えばｘの二乗はｘ＾２と書きます。
（２）
（１）の答えをｔの二次方程式と考えて整理すると
－ａｔ＾２＋ｘｔ＋（１－ａ）ｙ－ａ（１－ａ）＾２＝０
これが実数解を持つ条件は（解の判別式）
ｘ＾２＋４ａ（（１－ａ）ｙ－ａ（１－ａ）＾２）＞＝０
これを整理すれば答えの通りになるはずです。

（３）
これはＮｏ１さんと同じ。頑張って計算して下さい。

お礼

ありがとうございました。