数学

質問

数学
基礎的な問題で申し訳ありませんがご質問させていただきます
座標平面上で連立不等式x^2 +y^2≦25,x+y≦5,3x-y≦15のあらわす領域をDとし、原点を中心とする半径5の円をCとする
また、aを実数とし、点A(7,-1)を通り傾きがaの直線をlとする。lとDが共有点ををもつようなaの最大値と最小値を求めよ。

という問題の誘導でCとlが接するときのaの値とxの値をだすのですが、それから共有点をもつaの最大値、最小値までどう誘導すればいいのかがグラフを書いてみたのですがわかりません
ご教授いただければ幸いです

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

領域D（水色の領域）と円C、点A(7,-1)を通る直線l（赤線）の図を添付します。図のように各点に記号を割り振ります。
直線lの式は
　y=a(x-7)-1 ...(1)
この直線が領域Dと共有点を持つとき

aの最大値は直線lが円Cに接する時で図の接点B(3,-4)を通る時である。
　円C:x^2+y^2=25 ...(2)
と(1)の直線lが接すること(a>0)を使って、(1),(2)を連立方程式として解くと a>0として、傾きa=3/4,と接点B(x,y)=(3,-4)が決まる。

aの最小値は(1)の直線lが図の点E(0,5)を通る時である。
(1)にE(0,5)の座標を代入して　a=-6/7 が決まる。

以上より
(x,y)=(3,-4)の時aは最大値3/4をとり
(x,y)=(0,5)の時aは最小値-6/7をとる。

お礼

図までわざわざのせてもらいありがとうございます！感謝の限りです！
ありがとうございました！

回答No.1

spring135

数値的によく考えられた問題ですね。

この問題のポイントは方程式とグラフを完全に対応させる能力を評価しようということです。

それは高校数学で最も大切な能力で、これを入試で見ない大学はないでしょう。

要はしっかりグラフをかけることが前提です。

C:x^2 +y^2=25

L1:x+y=5

L2:3x-y=15

L:y=a(x-7)-1

として、C,L1,L2が図次できていますか。これらはいずれも点B(5,0)を通ることがわかりますか。

Lのaを振りながらDとの当たり具合を見てください。

まずLがCと接するとき

a=3/4 で　接点P1(3,-4)

a=-4/3で　接点P2(4,3)

が出ましたか。

L2とCの交点はB(5,0)とD(4,-3)であることを計算で出しましたか。

P1よりDのほうが上にくるので結局P1で接するときa=3/4が最大になることがわかりますか

最少のほうはLが点E(0,5）を通るときということが図からわかりますか。

この時m=-6/7

答え

aの最大値3/4
aの最小値-6/7

お礼

丁寧にご説明いただき、ありがとうございました！