場所に依存して変化する力について仕事量を求める問題

質問

ある問題に出会い、その解法の一部が分からなかったため、質問させて頂きました。
図が必要だったため、図を用意して添付しました。そちらをご覧頂ければと思います。
図において、ある物体がOCまで力Fで移動しました。その際なされた仕事量をもとめるというものです。
Fは物体の位置に依存し、F = (2y, x^2)です。

（１）
一つ目の疑問は、式の表し方なのですが、
添付図の右側の上段の緑の四角でくくった式は
ベクトルをそれぞれxy成分について積分したという意味と考えますが、表し方として適切なのでしょうか。どうもdx の直後にi（単位ベクトル表示）が付いているのが、腑に落ちません・・・。
いかがでしょうか。ベクトル量を積分するというのが初めてのことでして、お教え頂ければと思います。

（２）
二つ目の疑問は、添付の図中でご説明してありますが、図右側、最上段の式からどうやって
第二段の式を導出したかであります。OC上ではx=yであるため、至極単純に導出されているの
ですが、厳密にはどのような作業をしたのか、疑問です。もしかしたら、置換積分をしたのかもしれないと考えてみましたが、いがでしょうか。　問題をちょっと変えまして、x=yではなく、y=5xとなる点D (1, 5)を用意し、OD上での仕事量を考えてみました。図に示しましたとおり、二通りの方法を考えましたが、いがでしょうか。添削など頂ければ幸いです。

以上、説明が分かり辛いようでしたら、申し訳御座いません。その際は、補足にて書き直しますゆえ、ご指摘頂ければと思います。どうぞ宜しくお願いします。物理と言うより数学的な質問ですが、どうか宜しくお願いします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

線積分というのはご存じですか？　ご存じでなければまずは調べてみましょう。

(1)
多分貴方が見慣れていないだけで、こういう線積分はよく出てきます。
どうしても腑に落ちなければ内積を具体的に計算したそのすぐ後ろの式を(形式的に)内積を使って書いたのだ、という理解でも特に問題は起こらないはず。(こういう風に書いた方が物理的な意味が分かりやすいので)

(2)
解像度の関係で一部が読みにくいのですが
いつの間にかy=5xではなくy=x/5になっているように見えます。
なので直線ＯＤ上の線積分としては正しい計算ではないですが、y=x/5上の積分としては間違ってはいません。本来は、積分区間もちゃんと考えないといけませんけどね。

お礼

ありがとう御座いました。画質が悪く失礼致しました