フビニの定理について

質問

フビニの定理
もし、f(x,y)が可積分ならば、
∫f(x,y)dx,∫f(x,y)dy
がa.e.で存在していて、ともに可積分であり、等式
∫f(x,y)dxdy=∫[∫f(x,y)dy]dx=∫[∫f(x,y)dx]dy
が成り立つ。

それで、
f(x,y)が可積分でないときは、上式の第２式と第３式が存在しても、
その値が異なる場合がある例として、
　1　1
∫[∫(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dy]dx=π/4　
　0　0

　1　1
∫[∫(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx]dy=-π/4　
　0　0

となるそうなのですが、この積分結果が導出できなくて困っています。
部分分数展開やら試してみたのですが、どうもうまくいきません。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

有名問題なのでズルして結果を示すと
∫(0～1)[∫(0～1)(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dy]dx
=∫(0～1){[y/(x^2+y^2)](積分にy=0,1を代入)}dx
=∫(0～1){1/(x^2+1)}dx
=π/4

同様に
∫(0～1)[∫(0～1)(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 dx]dy
=∫(0～1){[-x/(x^2+y^2)](積分にx=0,1を代入)}dy　
=∫(0～1){-1/(y^2+1)}dy
=-π/4
のようですね.

お礼

第1式から第2式が、しんどいですね。
2式から1式は検算で出せたのですが、
やはり思いつくしかないのでしょうか。

ずっと詰まってましたが、納得することができました。
ありがとうございました。