積分に詳しい方よろしくお願いします。

質問

積分に詳しい方よろしくお願いします。

ベクトル場をｆ=-ｘ＾２ｙ ｘ＾+ｘ＾３ ｙ＾ とする。ｘ＾、ｙ＾はそれぞれｘ、ｙ方向の単位ベクトルである。次の積分を求めよ。

(分りにくくて申し訳ないのですが-ｘ＾２ｙ 、ｘ＾３ の ＾ は、二乗 三乗 を表しています)

(a) ∫c ｆ・ｄｘ ただしｃは半径aの円である。

(ｂ) 上の線積分をグリーンの定理を用いて面積積分に直しその積分を求めよ。

という問題です。

お時間ある方よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

f(x,y)=(-x^2y,x^3).

f(acos(θ),asin(θ))=(-a^3cos^2(θ)sin(θ),a^3cos(θ))

(a)
int[C]f・dr
=int[-π,π]f(acos(θ),asin(θ))・(-asin(θ),acos(θ))dθ
=int[-π,π][a^4cos^2(θ)sin^2(θ)+a^4cos^4(θ)]dθ
=int[-π,π]a^4cos^2(θ)dθ
=a^4π.

(b)
参照URLの「平面上のガウスの定理」の項の、「グリーンの定理」を書き変えたもの。
iint[D]rot(f)dS=int[C]f・dr.
DはCとその内部。

rot(f)=3x^2-(-x^2)=4x^2.

この場合、dS=dxdy.

int[C]f・dr
=iint[D]rot(f)dS
=int[D]4x^2dxdy
=int[R:0,a]int[θ:0,2π]4R^3cos^2(θ)dRdθ
=a^4π.

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/090vct.html