線積分の経路依存性問題

質問

(0,0)を始点とし(1,１)を終点とするような３通りの経路C1,C2,C3を考える。

ただし、C3は放物線 y=x^2に沿った経路とする。

次のベクトル場に対し、3通りの線積分
∫_Ci V・dr (i=1,2,3)を求めよ。（V , r はベクトルです。）

（１）　V=(x,y)
（２） V=(-y,x)

もし、この問題を解説できる方がいらっしゃいましたら
ご協力よろしくお願いいたしますm(__)m

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足

(1)は経路依存性なし
(2)は経路依存性あり
です。

お礼

了解です(^^)

回答No.1

info22_

C1=C11+C12:
C11:(0,t)(t=0→1), C12:(t,1)(t=0→1)
C2:(t,t)(t=0→1)
C3:(t,t^2)(t=0→1)
とすると

(1)
∫_C1 V・dr=∫_C11 ydy+∫_C12 xdx
=∫[0→1] tdt+∫[0→1] tdt=2[(1/2)t^2][0→1]=1
∫_C2 V・dr=∫_C2 (xdx+ydy)
=∫[0→1] (tdt+tdt)=∫[0→1] 2tdt=[t^2][0→1]=1
∫_C3 V・dr=∫_C3 (xdx+ydy)
=∫[0→1] tdt+∫[0→1] t^2*2tdt=[(1/2)t^2+(1/2)t^4][0→1]=1

(2)
∫_C1 V・dr=∫_C11 xdy+∫_C12 (-y)dx
=∫_C11 0dt+∫[0→1] (-1)dt=0-1=-1
∫_C2 V・dr=∫_C2 ((-y)dx+xdy)
=∫[0→1] (-tdt+tdt)=∫[0→1] 0dt=0
∫_C3 V・dr=∫_C3 ((-y)dx+xdy)
=∫[0→1] (-t^2)dt+∫[0→1] t*2tdt=∫[0→1] (t^2)dt
=[(1/3)t^3][0→1]=1/3

お礼

丁寧に回答して頂き感謝です。
ありがとうございましたm(__)m