体積の変化量の近似

質問

縦の長さがx、横の長さがy、高さがx+yである直方体について、x、yがそれぞれ微少量Δx、Δyだけ変化するときの体積Vの変化量ΔVはどのような式で近似されるか。
答えは ΔV≒y(2x+y)Δx+x(x+2y)Δy
なんですが、そうなる理由、解き方が分かりません。ご回答お待ちしています。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

V = x*y*(x+y)
　　　　↓
　ΔV≒(∂V/∂x)Δx + (∂V/∂y)dΔ
なる近似式を勘定。

　∂V/∂x = {∂(x*y)/∂x }*(x+y) + (x*y){∂(x+y)/∂x } = y*(x+y) + x*y = y(2x+y)
　∂V/∂y = {∂(x*y)/∂y }*(x+y) + (x*y){∂(x+y)/∂y } = x*(x+y) + x*y = x(x+2y)

よって、
　ΔV≒y(2x+y)Δx+x(x+2y)Δy

お礼

回答ありがとうございます！あとあと自分で考えてみてこちらの方が納得出来たのでベストアンサーとさせていただきました！

回答No.1

f272

縦の長さがx、横の長さがy、高さがx+yである直方体の体積はxy(x+y)
縦の長さがx+Δx、横の長さがy+Δy、高さがx+Δx+y+Δyである直方体の体積は(x+Δx)(y+Δy)(x+Δx+y+Δy)
したがってその変化量は
(x+Δx)(y+Δy)(x+Δx+y+Δy)-xy(x+y)
となる。これを
(Δx)^2=(Δy)^2=ΔxΔy=0
として計算すれば
y(2x+y)Δx+x(x+2y)Δy
になる。