工業力学の問題で息詰まってます。

質問

問題：下図のような均質な物体の重心の位置を求めよ。

解答がx=2.1,y=0となるのですが、私がやるとx=1.5,y=0になってしまいます。
積分の計算ミスかと思い、何度かやり直してもこの結果です。
なので、積分の式自体が間違っていると思うのですがどこが間違っているのかわからない次第です。

よろしければ、積分の式だけでも教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

これ座標はどうなってるんですかね。図のxの位置が・・・・・・
答えに照らし合わせると右側の同心円がyz平面、高さ方向がxでしょうか。

として、対象性からy,zにかんしては重心の位置はy=0, z=0は明らか。
つまり、重心はx軸上にある。

この図形をyz面に平行な巾dxの円板に切っていくと、
この円板の質量は密度をρで一定として

dm = ρπ(5-2x/5)^2 dx = (ρπ) (25 - 4x + 4x^2/25) dx

この円板の重心もx軸上(y=0, z=0)にあり、重心のx座標は

X = ∫x dm / ∫dm (積分範囲は0～5cm)

これを計算するとX ≒2.1cm になりましたけど。

お礼

ありがとうございます。
どうやら私は中身が空洞だと勘違いをしていました。
訂正したあとに計算してみたらしっかりX ≒2.1cmでした。
お手数をお掛けしたことをお詫びすると共に解答に感謝します。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

取りあえず形は円錐台とすると、座標系は円錐の頂点を原点とする座標系
を用いると楽です。

円錐台の台と底面が、X座標の a, h の位置にあるとして、底面の半径を r とすると
重心位置は

rg=∫[a～h]ρ((r/h)x)^2 x dx / ∫[a～h]ρ((r/h)x)^2 dx = (3/4)(h^4-a^4)/(h^3-a^3)

＃ρ: 密度 h: 円錐の高さ、a: 円錐の頂点から台までの距離, rg=円錐の頂点から重心までの距離

r=5, h=12.5, a=7.5 ですから 重心位置 rg = 10.4(円錐の頂点を基準)
底面からの距離は h - 10.4 = 2.1

底面基準の座標系でも頑張れば解けると思います。がんばってください。

お礼

詳しい解答をありがとうございます。
いろいろなアプローチがあり参考になります。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

外側はテーパになってるけど内側は？
形状がわからないと計算する気が起きないです。

お礼

私も形状が分からなく、問題が解けませんでした＾＾；

回答No.1

ninoue

底面半径5cm, 高さ12.5cmの円錐を高さ5cmの所で底面に平行な面で切り取ったと考えてみます。

そうすると次のような式が成立する筈です。
(重心位置で左右のモーメントが釣り合って0となる)

∫[0,5](x-b)π(5-ax)^2dx=0;

半径: r=5-ax; a=0.4
面積: s=πr^2
重心位置のx座標:b

積分の式は多項式でbだけが未知数なので、少し計算はややこしいですが簡単にbの値は求まると思われます。

お礼

こちらの解答は教科書には載っていなものでした。
参考にさせて頂きます。