数学（スカラーポテンシャル）について

質問

次の式で与えられるベクトル値関数Fについて、∇×Fを求めよ。
またこのFにはスカラーポテンシャルが存在しないことを示せ。

F(x,y,z)=(-y/x^2+y^2)ex+(x/x^2+y^2)xy

ただしex、eyはx、y方向の単位ベクトルとする。
また∇×FはrotFを表す。

∇×Fについてはゼロベクトルとなりました。

次にスカラーポテンシャルが存在しないことを示せについて。

あるスカラー関数φをφ(x,y,z)として、∇φ=[∂φ/∂x　　∂φ/∂y　　∂φ/∂ｚ]
またF=[-y/(x^2+y^2)　　x/(x^2+y^2)　　0]であり、x成分をｘで積分、y成分をyで積分
z成分をｚで積分しました。

ｘ成分→ -arcTan(x/y)+C(y,z)
y成分→ arcTan(y/x)+C(x,z)
z成分→ C(x,y)

となりこれらが全て等しくなるような任意の関数Cは存在しないから
F=∇φとなるようなφは存在せずスカラーポテンシャルは存在しない

と証明できたと思っていたのですが、のちのちスカラーポテンシャルの参考書を読んでいると
スカラーポテンシャルが存在するための必要十分条件がrotF=0ということを知り、
あれ？ってなりました。

私の積分している証明がおかしいとしても、rotF=0は合ってると思いますし、それでスカラーポテンシャルが存在しないことの証明っていうのはどういうことなのでしょうか？
問題が間違っているのでしょうか？

どこか間違っているところがあれば指摘してください。
宜しくお願いします。

回答No.2

panasoniki · ベストアンサー

原点でFは発散するので
原点で∇×F≠０です。

スカラーポテンシャルが存在する条件は全ての点で∇×F＝０となることなので、
スカラーポテンシャルは存在しません。

F(x,y,z)=(-y/x^2+y^2)ex+(x/x^2+y^2)eyは
原点周りの円環状のベクトル場なので、
原点周りにぐるっと線積分すると
≠０になります。
（ストークスの定理から曲線の内部にrotが≠0となる点が存在する）

あとは、
スカラーポテンシャルがあると、二点間のポテンシャル差、経路によって変わらないはずだが、
原点周りの曲線を考えるとそうなっていないことが分かる。

いずれにせよ
F(x,y,z)=(-y/x^2+y^2)ex+(x/x^2+y^2)ey
の図形的イメージを持つと分かりやすいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
全ての点でという条件が必要だったのですね。

本当にありがとうございました！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>スカラーポテンシャルが存在するための必要十分条件がrotF=0ということを知り

原点のrotFは？

補足

回答ありがとうございます。
原点のrotFとはどういうことでしょうか？