数学Bベクトルの問題です

質問

数学の問題なのですが、どうしても解らなかったので、質問いたします。

　△OABにおいて、辺OAを1：２に内分する点をD、辺OB中点をE、辺AB を２：1に外分する点をFとする。この時、D,E、Fは一直線上にあることを証明せよ。

　回答が途中抜けており、自力では、証明することができませんでした。

　解る方回答お願いいたします。

回答No.2

noname#157574 · ベストアンサー

ベクトルを表す矢印は省略
AO=a, AF=b とおくと, AB=b/2 であるから AE=AO/2+AB/2=a/2+b/4
また AD=2a/3 であるから DE=AE-AD=-a/6+b/4, DF=AF-AD=-2a/3+b
したがって DE=DF/4, よって D, E, F は一直線上にある.

お礼

回答ありがとうございます。参考になりました。

　ベストアンサーのかたは、TheWK1981
さんにさせていただきました。

　ありがとうございました。

回答No.1

info22_

線分DEのEを超える延長線と辺ABのBを超える延長線との交点をF'とすると
△OABに直線DF'が交わっているとき、メネラウスの定理より
(OD/DA)(AF'/F'B)(BE/EO)=1
問題の条件からOD/DA=1/2, BE/EO=1/1なので
(1/2)(AF'/F'B)(1/1)=1　∴AF'/F'B=2/1
AF':F'B=2:1
点F'は辺ABを2:1に外分するする点である。
一方、点Fは辺ABを2:1に外分する点である。
したがって、点F'と点Fは一致する。

メネラウスの定理と証明については参考URL
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/meneraus/meneraus.htm
をご覧ください

お礼

回答ありがとうございます。
メネラウス定理も参考になりました。