数学のベクトルに関する質問です。

質問

数学のベクトルに関する質問です。

四面体OABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をP、線分PCを2:3に内分する点をQとする。また、辺OAの中点をD、辺OBを2:1に内分する点をE、OCを1:2に内分する点をFとする。平面DEFと線分OQの交点をRとするとき、OR:RQを求めなさい。

という問題です。この問題を教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

こうゆうのは、淡々と計算です。

点 A,B,C,P,Q,D,E,F,R の位置ベクトルを
それぞれ a,b,c,p,q,d,e,f,r と置きます。
OABC が四面体であることから、
{ a,b,c } は一次独立です。

問題の条件を、ベクトル方程式へ直訳すると、
p = (2/3)a + (1/3)b,
q = (3/5)p + (2/5)c,
d = (1/2)a,
e = (2/3)b,
f = (1/3)c,
r = Wq = Xd + Ye + Zf, X + Y + Z = 1
ただし W,X,Y,Z は実数。
(この立式が分からなければ、内分外分のベクトル表示
について、教科書の復習が必要です。)

以上の式から、ベクトル p,q,d,e,f,r を消去すると、
W{ (3/5){ (2/3)a + (1/3)b } + (2/5)c } = X(1/2)a + Y(2/3)b + Z(1/3)c, 　←[*]
X + Y + Z = 1　　←[0]
となります。

{ a,b,c } が一次独立であることから、
[*] の両辺で a,b,c の成分を比較して、
W(3/5)(2/3) = X(1/2),　　←[1]
W(3/5)(1/3) = Y(2/3),　　←[2]
W(2/5) = Z(1/3).　　←[3]

[0][1][2][3] を連立一次方程式として解くと、
W = 10/23, X = 8/23, Y = 3/23, Z = 12/23.
です。

r = Wq だったので、OR:RQ = W:(1-W) = 10:13
ですね。